Parameterform in Koordinatenform, Vektoren

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E1 in Koordinatenform.

Parameterform der Ebene E1: X = (-3/ 3/ 7) +s(-4,5/1,5/-3)+t(-1,5/4,5/-3)

Problem/Ansatz:

Hey, ich wollte diese Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform bringen. Bekomme jedoch die ganze Zeit was anderes Raus.

Was ich rausbekomme: -3x1-9x2-18x3= 126

Was in den Lösungen steht: 3x1 - 3x2 - 6x3 + 60 = 0

Kann mir jemand erklären warum das so ist? oder können Abituraufgaben auch falsch gelöst sein xd. Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Wir brauchen erstmal einen Normalenvektor. Wir verdoppeln die Richtungsvektoren, um nicht mit Kommazahlen rechnen zu müssen:$$\vec n=\left(\begin{array}{r}-9\\3\\-6\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}-3\\9\\-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-18+54\\18-54\\-81+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}36\\-36\\-72\end{array}\right)=-36\left(\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right)$$

Damit können wir die Koordinatenform der Ebene angeben:

$$E\colon\left(\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}-3\\3\\7\end{array}\right)$$$$E\colon-x+y+2z=20$$

Das ist die angegebene Lösung, aber beide Seiten noch durch \((-3)\) dividiert.

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Dankeschön!! :)