Wie sieht die Parabel y=4-xhoch2 aus?

Question

Der Parabel mit der Gleichung y= 4 - x² werden Rechtecke einbeschrieben, von denen zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen und eine Ecke auf dem Graph der Funktion.

a) bestimmen Sie das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.

b) welches der möglichen Rechtecke hat den größten Umfang.

c) bestimmen Sie den Punkt der Parabel, der oberhalb der x-Achse liegt und den größten Abstand zum Ursprung hat.

 

 

Answer 1

Ich habe hier nur die Ansätze plus das Ergebnis für x. Von dir sind zwischenergebnisse zu erbringen sowie weitere für die Antwort erforderliche Werte.

a) bestimmen Sie das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.

A = x * f(x) = x * (4 - x^2) = 4x - x^3
A' = 4 - 3x^2 = 0
x = 2/3·√3 = 1.154700538

b) welches der möglichen Rechtecke hat den größten Umfang.

U = 2x + 2*f(x) = 2x + 2(4 - x^2) = - 2·x^2 + 2·x + 8
U' = 2 - 4·x = 0
x = 1/2 = 0.5

c) bestimmen Sie den Punkt der Parabel, der oberhalb der x-Achse liegt und den größten Abstand zum Ursprung hat.

d^2 = x^2 + f(x)^2 = x^2 + (4 - x^2)^2 = x^4 - 7·x^2 + 16
d^2' = 4·x^3 - 14·x = 2·x·(2·x^2 - 7) = 0
x = √14/2 = 1.870828693

 

Comments

A=x

F(a)=x(4-x²)=4x-x³ 

4x-x³  ist die Zielfunktion

davon die Ableitung ist F'(a)= 4-3x²  

F'(a)=0 denn 4-3x²=0             -3x²=-4 / : (-3)              x²=4/3 /√       x=1,154

F'(1,154)=4-3*1,154²       F'(1,154)=4-4              F'(1,154)=0  <---------->Minimum

F''(a)=-6x        F''(1,154)=-6*1,154       F''(1,154)=-6,924<--------->Maximum

F(1,154)=4*1,154-1,154³        F(1,154)=4,616-1,5368        F(1,154)=-3,08   hat den größten Flächeninhalt!