Bestimmen Sie Matrix rank-1 Approximation

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie Matrix rank-1 Approximation

Problem/Ansatz:

Ich habe leider wirklich wenig Ahnung, mein Ansatz wäre dass ich den Rank r der Matrix bestimme und dann SVD anwende und dann diese Formel erhalte: ∑σ_i * μ_i * ∨_i^T   wobei gilt dass i bis r-1 verläuft ?

A =

3	2	2
2	3	-2

Answer 1

Sei die SVD gegeben durch $\mathbf{A}=\mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^{\top} .$ Die beste rank- 1 Approximation (bezüglich Frobenius und p- 2 Norm) von $\mathbf{A}$ ist dann gegeben durch
$\mathbf{A}_{1}=\sum \limits_{\ell=1}^{1} \sigma_{\ell}(\mathbf{U})_{:,\ell} \cdot(\mathbf{V})_{:, \ell}^{\top}$

Bemerkung: $(\mathbf{U})_{:,\ell}$ bezeichnet die $\ell$te Spalte von $\mathbf{U}$ und die Singulärwerte sind nach Konvention absteigend sortiert.

Comments

das müsste man aber auch für A₂ denn wir gehen gehen von 1 bis 2 aufgrund des Ranges der Matrix.

d.h A₂ + A₁ = A dementsprechend ? oder irre ich mich ?

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Was meinst du? Du musst einfach die SVD bestimmen und dann die Formel, die in meiner Antwort steht, anwenden.

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ich würde aber nur A1 erhalten aber wie sähe es mit A2 aus ?

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Naja, der Rang der Matrix in deiner Frage ist ja schon 2, also ist die beste rank-2 approximation logischerweise eben diese Matrix.