Bijektion f: ℕ → ℤ nicht Bedingung erfüllen

Question

Zeigen Sie, dass keine Bijektion f: ℕ → ℤ die Bedingung m ≤ n ⇒ f(m) ≤ f(n) für alle m, n ∈ ℕ erfüllen kann.

Leider verstehe ich nicht so ganz, wie ich vorgehen soll und wie ich das zeigen kann.

Answer 1

Man nehme an es gäbe eine solche Bijektion. Ich nehme jetzt mal an, dass Null auch eine natürliche Zahl ist. Betrachten wir nun \( f(0)=\alpha \in \mathbb{Z} . \) Dann gilt \( x=\alpha-1<\alpha \), jedoch ist \( f^{-1}(\alpha-1)>0 \) da Null ja schon auf \( \alpha \) abgebildet wurde. Damit haben wir also
\( 0 \leq x \text { und } f(0)>f(x) \)
Ein Widerspruch.

Comments

ist α in diesem Fall n und x dann m?

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Nein. \(\alpha\) ist im Bild deiner Funktion, \(0=m\) und \(x=n\).