Rechenregeln für komplexe Zahlen

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen für alle komplexen Zahlen z, w ∈ C gelten:

(a) Es gilt |z · w| = |z| · |w|

(b) Für z ≠  0 gilt |z^ −1| =1 ÷ |z|

(c) Es gilt |z + w| ≤ |z| + |w|

Kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen? Ich weiß nicht weiter...

Answer 1

Nimm einfach einen Ansatz wie z=a+b*i.

Dann hast du z.B. bei b)

\( z^{-1} = \frac {1}{a+bi}= \frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)}= \frac {a-bi}{a^2+b^2}\)

Davon der Betrag ist \(  \frac {|a-bi|}{a^2+b^2}= \frac {\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}=\frac {1}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{|z|}\)