Abstandstreue, surjektive Abbildung beweisen

Question

Aufgabe:

Hallo, meine Aufgabe ist folgendes zu beweisen :

Lemma: Es seinen (M1,d1) und (M2,d2) metrische Räume. Dann ist jede abstandstreue, surjektive Abbildung f: M1→M2 eine Bijektion von M1 auf M2 und die Umkehrabbildung f ⁻1 zu f ist eine abstandstreue Bijektion von M2 auf M1.

Problem/Ansatz:

wie soll ich das denn jetzt genau beweisen?

Answer 1

Da Surjektivität vorausgesetzt ist, musst du nur die

Injektivität zeigen:

sei also \(f(x_1)=f(x_2)\), dann gilt

\(d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x_2))=d_2(f(x_1),f(x_1))=0\), also

\(x_1=x_2\) ...