Aufgabe:
Seien X, Y Mengen und α: X → Y eine Bijektion. Zeigen Sie:
(a) Für π ∈ Sym(X) gilt π' := α ° π ° α-1 ∈ Sym(Y).
(b) Die Abbildung Φ : Sym(X) → Sym(Y ), π ↦ π' ist eine Bijektion.
(c) Für π1, π2 ∈ Sym(X) gilt
Φ(π1 ° π2) = Φ(π1) ° Φ(π2).
Problem/Ansatz:
Also Bezeichnung gilt:
Sei M eine Menge. Dann ist Sym(M) := {Φ: M → M | Φ ist eine Bijektion} die symme-trische Gruppe auf M. Wenn M = {1,2,...n} ist, schreibt man auch Sym(n) oder Sn.
Habt ihr eine Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann?
Ich hatte mir bei a) überlegt, dass das π' = α(π(α-1) ist und somit
Y-> X -> X -> Y, insgesamt also Y -> Y.
Reicht das?
Bei b und c habe ich wirklich keine Idee :(
Mit Morphismen können wir das noch nicht beweisen (hatten wir nicht)
Danke schonmal
