Zeigen Sie: Gruppen und Symmetrie

Question

Aufgabe:

Seien X, Y Mengen und α: X → Y eine Bijektion. Zeigen Sie:

(a) Für π ∈ Sym(X) gilt π' :=  α _° π _° α^-1 ∈ Sym(Y).
(b) Die Abbildung Φ : Sym(X) → Sym(Y ), π ↦ π' ist eine Bijektion.
(c) Für π₁, π₂ ∈ Sym(X) gilt
Φ(π₁ ° π₂) = Φ(π₁) ° Φ(π2).

Problem/Ansatz:

Also Bezeichnung gilt:

Sei M eine Menge. Dann ist Sym(M) := {Φ: M → M | Φ ist eine Bijektion} die symme-trische Gruppe auf M. Wenn M = {1,2,...n} ist, schreibt man auch Sym(n) oder Sn.

Habt ihr eine Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann?
Ich hatte mir bei a) überlegt, dass das π' =  α(π(α^-1) ist und somit
Y-> X -> X -> Y, insgesamt also Y -> Y.

Reicht das?

Bei b und c habe ich wirklich keine Idee :(

Mit Morphismen können wir das noch nicht beweisen (hatten wir nicht)

Danke schonmal