Überprüfen der Konvergenz einer Folge gegebenfalls mit Limes

Question

Hallo, liebe Mitglieder :)

es geht um die Konvergenz einer Folge.

Die Aufgabenstellung lautet:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{(-1)^xx+\sqrt{x}}{x+1} \)

zu überprüfen ist ob Konvergenz für x∈ℕ vorliegt (wenn ja wohin geht der Limes).


Mein Vermutung ist, dass die Folge divergent ist. Denn der Zähler steigt ja mehr als der Nenner, hinzukommt dass mit jedem höheren x im Wechsel der Bruch positiv oder negativ wird.

Gibt es eine Möglichkeit dies auch mathematisch zu zeigen bzw. zu berechnen? Oder nur verbal möglich?

Vielen Dank für eure Hilfe und einen schönen Abend!

Answer 1

Deine Intuition, dass die Folge nicht konvergiert, ist richtig. Du musst es jetzt nur noch formal zeigen, dafür kannst du entweder mit der Definition des Grezwertes argumentieren, oder du zeigst z.B., dass das Cauchykriterium scheitert.

\( a_{n}=\frac{(-1)^{n} n+\sqrt{n}}{n+1} \)
Wir betrachten nun die Teilfolgen \( a_{2 n} \) und \( a_{2 n+1} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n+\sqrt{2 n}}{2 n+1}=1 \)
und
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{2 n+1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-2 n-1+\sqrt{2 n+1}}{2 n+2}=-1 \)
Da die beiden Teilfolgen nicht gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, konvergiert die Überfolge nicht.

Comments

Erst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Da mir das Cauchykriterium allerdings nichts sagt (und wir das im Studium auch noch nicht hatten), würde ich dies gerne mit dem Grenzwert machen, jedoch komme ich da nicht drauf wie, deshalb die Frage hier im Forum.

Ps: Hatte überlegt den Bruch oben und unten mit (x+1) zu multiplizieren, aber komme da nicht weiter, deshalb frage ich hier nach Hilfe.

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Vielen Dank für die Beantwortung, jetzt ist es klar, also ich verstehe a_2n für die geraden positiven Zahlen und a_2n+1 für die ungeraden negativen. Somit konvergiert es für 2n gegen 1 und dementsprechend für 2n+1 konvergiert es gegen -1, habe ich das so korrekt verstanden?

Danke :)

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Ja genau, du hast es richtig vestanden, für gerade zahlen ist (-1)^n=1 und für ungerade ist (-1)^n=-1