inhomogene DGL 2. Ordnung (d`Alembertsches Reduktionsverfahren)

Question

Guten Abend!

Ich habe diese inhomogene DGL 2. Ordnung gegeben:

$$y''(x)+ \frac{3}{2x+3}y'(x) - \frac{2}{(2x+3)^3}y(x) = 8(2x+3)$$

Ich soll jetzt zeigen, dass $$ y_1(x) = \frac{1}{2x+3} $$ eine Lösung des homogenen Problems ist. Anschließend soll mit dem d`Alembertschen Reduktionsverfahren ein Fundamentalsystem für dieses bestimmt werden.

Wie funktioniert das? Leider habe ich aktuell keinen Ansatz und die Aufgabe muss ich dringend erledigen, weshalb ich über Hilfe sehr dankbar wäre!

Vielen Dank!

Comments

Dass es sich um ein Lösung handelt, kannst Du zeigen?

Was das dA Reduktiondvrrfahren ist, hast Du nachgeschaut?

Answer 1

Hallo,

PS: Ist die DGL richtig abgeschrieben?

Lautet die DGL so?

\( y^{\prime \prime}(x)+\frac{3}{2 x+3} y^{\prime}(x)-\frac{2}{(2 x+3)^{2}} y(x)=8(2 x+3) \)

a) Ich soll jetzt zeigen, dass y₁(x)  eine Lösung des homogenen Problems ist.

Leite y1  2 Mal ab und setze es in die Gleichung:

y'' +(3/(2x+3))y' -2/((2x+3)^3)=0 ein.(homogene Gleichung )

Wenn die linke Seite= der rechten Seite ist , ist die Aussage bewiesen.

b) Anschließend soll mit dem d`Alembertschen Reduktionsverfahren ein Fundamentalsystem für dieses bestimmt werden.

Ansatz: y = μ y₁

y ' = μ'y₁+ μy₁'

y '' =μ '' y₁+2 μ' y₁'+μ y₁''

Setze y'' , y' und y in die homogene Gleichung ein und vereinfache.

Setze:

w= μ'

w'= μ ''

Die partikuläre Lösung kannst Du über die Wronski Determinante bestimmen.

y=yh +yp

->Bestimmung des Fundamentalsystems möglich.