Welche Nullstellen hat das Polynom X^{3}-3 X^{2}+2 X über ℤ / 12 ℤ?

Question

Aufgabe:

Flachwurzler
Welche Nullstellen hat das Polynom \( X^{3}-3 X^{2}+2 X \) über \( \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z} ? \)
Welche Nullstellen hat es über \( \mathbb{Z} / 101 \mathbb{Z} ? \)

Answer 1

a) Setze einfach alle Zahlen von 0 bis 11 ein.

Wenn ein Vielfaches von 12 rauskommt, ist es eine Nullstelle

also 0,1,2,4,5,6,10.

b)101 ist eine Primzahl, also gibt es hier

keine Nullteiler, somit sind die Nullstellen nur

0,1,2

Answer 2

Hallo,

0; 1 und 2 sind Nullstellen des Polynoms.

Damit kannst du es umschreiben zu

\( X(X-1)(X-2) \)

Also suchst du Lösungen von

\( X(X-1)(X-2)≡0 \mod 12 \)  (1)

und

\( X(X-1)(X-2)≡0 \mod 101 \)   (2)

Comments

In ℤ/12ℤ gibt's noch mehr.

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In ℤ/12ℤ gibt's noch mehr.

Danke für den Hinweis. Ich hatte einfach nur die Gleichung gelöst.

Answer 3

In \(Z_{12}\) ist auch \(6\) eine Nullstelle.
Im Falle \(Z_{101}\) kann es nur max. 3 Nullstellen geben,
da ein Polynom über einem Körper nur so viele Nullstellen
haben kann, wie sein Grad beträgt.