Wie muss man a ∈ ℝ wählen, damit die Gleichung x2=3+(a x-3)2 nur eine Lösung für x hat?

Question

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Wie muss man a $\in \mathbb{R}$ wählen, damit die Gleichung $x^{2}=3+(a x-3)^{2}$ nur eine Lösung für $x$ hat? Vie lautet diese Lösung?

Wie kommt man darauf

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$$\begin{aligned} &x^{2}=3+(a x-3)^{2} \\\iff &x^2 = 3+ a^2x^2 -6ax + 9 \\\iff &0= a^2x^2 - x^2 - 6ax + 12 \\\iff &0 = \underbrace{(a^2-1)}_{=:\alpha}x^2 + \underbrace{(-6a)}_{=:\beta}x + \underbrace{12}_{=: \gamma} \end{aligned}$$

Falls $\alpha = 0$ haben wir keine quadratische Gleichung mehr, den Fall gesondert betrachten!

Andernfalls:

Diskriminante bilden: $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$

Genau eine Lösung falls Diskriminate $\Delta = 0 \$. Das ist wieder eine quadratische Gleichung die du lösen musst (z.B. mit der Mitternachtsformel)

Du solltest insgesamt 4 Werte erhalten!

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Danke für deine Hilfe

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Tut mir leid, dass ich nochmal frage aber ich habe dieses Beispiel gelöst doch bei den Lösungen stehen andere Zahlen. Kann wer das Beispiel komplett berechnen?

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Die Lösungen lauten:a=1, a= -1, a= 2, a= -2
x= 2, x= -2, x= 2, x= -2
Wie kommt man darauf bzw auf 1

Answer 1

Die Gleichung $x^2=3+(ax-3)^2$ ist äquivalent zu $(a^2-1)x^2-6ax=-12$.
Man rechnet leicht per Hand nach, dass es für $a=1$, sowie $a=-1$ jeweils genau eine Lösung für $x$ gibt.
Sei im folgenden also $a^2\ne1$ vorausgesetzt. Quadratische Ergänzung liefert$$(a^2-1)\cdot\left(x-\frac{3a}{a^2-1}\right)^{\!2}=\frac{9a^2}{a^2-1}-12.$$Diese Gleichung hat dann genau eine Lösung für $x$, wenn die rechte Seite gleich Null ist, was ist für $a^2=4$ der Fall ist.

Comments

Wie kommst du auf (a²-1)x²-6ax=-12?

Und wie kann ich die Mitternachtsformel verwenden?