Wie muss man a ∈ ℝ wählen, damit die Gleichung x^{2}=3+(a x-3)^{2} nur eine Lösung für x hat?

Question

Text erkannt:

Wie muss man a \( \in \mathbb{R} \) wählen, damit die Gleichung \( x^{2}=3+(a x-3)^{2} \) nur eine Lösung für \( x \) hat? Vie lautet diese Lösung?

Wie kommt man darauf

Comments

$$ \begin{aligned} &x^{2}=3+(a x-3)^{2}  \\\iff &x^2 = 3+ a^2x^2 -6ax + 9 \\\iff &0= a^2x^2 - x^2 - 6ax + 12 \\\iff &0 = \underbrace{(a^2-1)}_{=:\alpha}x^2 + \underbrace{(-6a)}_{=:\beta}x + \underbrace{12}_{=: \gamma} \end{aligned}$$

Falls \( \alpha = 0 \) haben wir keine quadratische Gleichung mehr, den Fall gesondert betrachten!

Andernfalls:

Diskriminante bilden: \( \Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma \)

Genau eine Lösung falls Diskriminate \( \Delta = 0 \ \). Das ist wieder eine quadratische Gleichung die du lösen musst (z.B. mit der Mitternachtsformel)

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Du solltest insgesamt 4 Werte erhalten!

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Danke für deine Hilfe

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Tut mir leid, dass ich nochmal frage aber ich habe dieses Beispiel gelöst doch bei den Lösungen stehen andere Zahlen. Kann wer das Beispiel komplett berechnen?

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Die Lösungen lauten:a=1, a= -1, a= 2, a= -2
x= 2, x= -2, x= 2, x= -2
Wie kommt man darauf bzw auf 1

Answer 1

Die Gleichung \(x^2=3+(ax-3)^2\) ist äquivalent zu \((a^2-1)x^2-6ax=-12\).
Man rechnet leicht per Hand nach, dass es für \(a=1\), sowie \(a=-1\) jeweils genau eine Lösung für \(x\) gibt.
Sei im folgenden also \(a^2\ne1\) vorausgesetzt. Quadratische Ergänzung liefert$$(a^2-1)\cdot\left(x-\frac{3a}{a^2-1}\right)^{\!2}=\frac{9a^2}{a^2-1}-12.$$Diese Gleichung hat dann genau eine Lösung für \(x\), wenn die rechte Seite gleich Null ist, was ist für \(a^2=4\) der Fall ist.

Comments

Wie kommst du auf (a^2-1)x^2-6ax=-12?

Und wie kann ich die Mitternachtsformel verwenden?