Wenn man i = √ −1 definiert, ist die Definition überhaupt sinnvoll?

Question

Aufgabe:

Wenn man i = √ −1 definiert, ist die Definition überhaupt sinnvoll?

Sollte es nicht zwei Wurzeln aus −1 geben? Welche wären das?

Was würde geschehen, wenn man als i die ”andere” Wurzel definieren wurde?

Problem/Ansatz:

Kann mir das jemand bitte erklären, wie diese andere Wurzel aussieht und was sich ändern würde dadurch?

Comments

Es gibt einen Isomorphismus ℂ -> ℂ , der darin besteht, i und -i zu vertauschen.

Das bedeutet, wenn du dir unter i eine Lösung der Gleichung x^2 = -1 vorstellst (falls man das überhaupt kann) und ich mir darunter irgendetwas vorstelle, dann hast du keine Möglichkeit herauszufinden, ob wir beide uns dasselbe oder entgegengesetzte Zahlen vorstellen.

Answer 1

Aloha :)

Schau dir die folgende Rechnung an, in der wir die Definition \(i\coloneqq\sqrt{-1}\) verwenden:$$i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot(-1)}=\sqrt1=1$$Das ist offensichtlich falsch, denn wenn ich eine Wurzel quadriere, muss der Radikand herauskommen. In \(\mathbb R\) sind Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert. Das heißt, den Ausdruck \(\sqrt{-1}\) gibt es nicht. Was wir aber definieren können, ist \(i^2\coloneqq-1\), denn \((-1)\) existiert in \(\mathbb R\).

Answer 2

Hallo

1. definieren kann man was man will!

danach muss man überlegen wie man mit i umgeht, also was ist i+i, was will man unter i+1 verstehen, was unter 3*i, unter (-1)*i usw, d.h. man definiert die komplexen Zahlen, dann stellt sich heraus, dass auch -i*(-i)=-1 ist und somit -i auch ein Wert  von √-1,  aber auch wenn du für √2 den Näherungswert 1,4 hast schließt das nicht aus, das -1,4 auch ein Näherungswert ist.  wenn man aber einfach √2 schreibt meint man per Def. immer den positiven Wert und schreibt sonst -√2

lul