Aufgabe: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat. Ziel dieser Aufgabe ist es, die folgende Aussage zu beweisen: Für jedes \( n \in \mathbb{N}_{>1} \) gibt es ein eindeutiges \( s \in \mathbb{N} \) und (bis auf die Reihenfolge) eindeutige Primzahlen \( p_{1}, \ldots, p_{s} \), sodass\(n=p_{1} * p_{2} * * * p_{s}\)
(a) Beweisen Sie per vollständiger Induktion, dass es für jedes \( n \in \mathbb{N}_{>1} \) ein \( s \in \mathbb{N} \) und Primzahlen \( p_{1}, \ldots, p_{s} \) derart gibt, sodass \( n=p_{1} \cdot p_{2} \cdots p_{s} \).
(c) Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( a, b \geq 2 \) und jede Primzahl \( p \) gilt: Teilt \( p \) das Produkt \( a \cdot b \), so teilt \( p \) mindestens einen der Faktoren.
(d) Beweisen Sie per vollständiger Induktion: Sind \( s \in \mathbb{N}_{>1}, a_{1}, \ldots, a_{s} \in \mathbb{N}_{>1} \) und \( p \) eine Primzahl, die das Produkt \( a_{1} a_{2} \cdots a_{s} \) teilt, so teilt \( p \) mindestens einen der Faktoren \( a_{i}, i \in\{1, \ldots, s\} \)
(e) Folgern Sie die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung per vollständiger Induktion.Hinweis: Nehmen Sie im Induktionsschritt an, dass \( n=p_{1} \cdots p_{2}=q_{1} \cdots q_{t} \) zwei Primfaktorzerlegungen von \( n \) sind, und folgern Sie, dass es ein \( i \in\{1, \ldots, t\} \) gibt mit \( p_{1}=q_{i} \).
Problem/Ansatz: Aufgabe b wurde mir schon erklart, aber ich glaub ich komm trotzdem nicht weiter mit a c d e. Kann wer vielleicht helfen?
