Bernoulli-DGL Gleichung lösen

Question

Hallo, ich will diese Aufgabe lösen ,aber irgendwie komme ich nicht weiter  .

Ich brauche Hilfe .

wie kann ich sowas Beweisen .

Transformieren Sie die Bernoullische Differentialgleichung
y′ =a(t)·y+b(t)·yλ    , λ∈R,
mittels der Substitution z := y1−λ in eine lineare Differentialgleichung.
(Hier sind a, b : I → R stetige Funktionen auf einem offenen Intervall I .)

Lösen Sie die Gleichung
y′ − y + ty2 = 0 .

Comments

Bitte die Aufgabe richtig abschreiben. Da fehlen ein paar Exponenten!!!!

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Und fehlen da nicht noch Anfangsbedingungen?

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Text erkannt:

1. Aufgabe ( \( 2+3 \) Punkte): Bernoulli-Gleichung
(i) Transformieren Sie die Bernoullische Differentialgleichung
\( y^{\prime}=a(t) \cdot y+b(t) \cdot y^{\lambda}, \lambda \in \mathbb{R} \)
mittels der Substitution \( z:=y^{1-\lambda} \) in eine lineare Differentialgleichung. (Hier sind \( a, b: I \rightarrow \mathbb{R} \) stetige Funktionen auf einem offenen Intervall \( I \).)
(ii) Lösen Sie die Gleichung
\( y^{\prime}-y+t y^{2}=0 \)

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Ja ,es tut mir leid ,da steht in der Aufgabe Fehler.

So sieht die Aufgabe aus

Answer 1

Hallo,

Aufgabe i funktioniert analog , hier bis zur linearen DGL.

Answer 2

Multipliziere die Dgl. $$ (1) \quad y' = a(t) \cdot y +b(t) \cdot y^\lambda $$ mit \( (1 - \lambda) \cdot y^{-\lambda} \) dann folgt mit \( z = y^{1 - \lambda} \) folgende Dgl.

$$ (2) \quad z'  = (1 - \lambda) \cdot a(t) \cdot z + (1 - \lambda) \cdot b(t) $$

also eine lineare Dgl.

Für die die Dgl. $$ (3) \quad y' - y + t \cdot y^2 = 0 $$ folgt dann

$$ (4) \quad z' = -z + t $$

mit der Lösung von (4) $$ z(t) = e^{-(t - \tau)} ( 1 - \tau + \eta ) + t - 1  $$ falls für die Anfangsbedingung  \( z(\tau) = \eta \)  gilt

Weiter gilt dann für die Lösung von (3) $$ y = \frac{1}{z} = \frac{1}{ e^{-(t - \tau)} ( 1 - \tau + \eta ) + t - 1 } $$ und \( y(\tau) = \frac{1}{\eta} \)