Aufgabe:
Zeigen Sie, dass
B := { \( \begin{pmatrix} 4\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 3\\2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3\\-4 \end{pmatrix} \)
ein Erzeugendensystem für den R-Vektorraum
V := { \( \begin{pmatrix} 2y+z\\y\\z\\y-z \end{pmatrix} \) : y ∈ R, z ∈ R}
ist, also:
a) Jedes Element aus B liegt in V.
b) Jedes Element aus V ist eine Linearkombination der Elemente aus B.
Problem/Ansatz:
B muss ja die Basis für V sein, sprich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.
Um dies zu beweisen, würde ich ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Wenn ich das LGS lösen kann, ist das Erzeugendensystem linear unabhängig, sprich ich jedes Element aus B liegt in V.
Wäre nur "R" gegeben (also ohne die Eigenschaften), hätte ich
\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \) = und die 3 Vektoren aus B in ein LGS geschrieben und aufgelöst.
Wie genau soll ich das LGS hier aufstellen, die Eigenschaften von V verwirren mich irgendwie :(
