Komplexe Zahlen berechnen z = 1+i√3

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die komplexe Zahl \( z_{1}=1+\mathrm{i} \sqrt{3} \)

a) Berechnen Sie Betrag \( r_{1}=\left|z_{1}\right| \) und Argument \( \varphi_{1}=\arg \left(z_{1}\right) \) und geben Sie \( z_{1} \) in der Polarkoordinatendarstellung \( z_{1}=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi} \) an
b) Berechnen Sie nun \( z_{1}^{2} \)
c) Berechnen Sie \( z_{1}+z_{2} \) und \( z_{1} \cdot z_{2} \) wobei \( z_{2}=1-\mathrm{i} \sqrt{3} \)
d) Zeichen Sie \( z_{1}, z_{2}, z_{1}+z_{2} \) und \( z_{1} \cdot z_{2} \) in die Gaußsche Zahlenebene ein.


Ansätze:

zu a)
\( 1+i \sqrt{3}=\left(\frac{1}{2}+i \frac{1}{2} \sqrt{3}\right) \)
\( \phi=0 \quad \phi=60^{\circ} \quad \phi=60^{\circ} \)
\( \phi=\frac{\pi}{3} \)
\( 2 e^{i \frac{\pi}{3}} \)

zu b) Was ist mit $${ z }_{ 2 }^{ 1 }$$ gemeint?

zu c)
\( z_{1}=1+i \sqrt{3} \)
\( z_{2}=1-i \sqrt{3} \)
\( z_{1}+z_{2}=2+0 i \)
\( z_{1} * z_{2}=3,9929+0 i \)

zu d)

 z₁, z₂, z₁ + z₂ und z₁ ·z₂ 

Answer 1

Hallo

Bei a) hast du die Endergebnisse richtig, der Weg dorthin ist deiner
Rechnung aber nicht zu entnehmen, darum schreibe ich das mal auf.

z₁ = 1 + i√3
|z₁| = √(1^2 + (√3)^2)
|z₁| = 2
φ = arctan(√3/1)
φ = π/3

z₁ = 2e^{π/3 i}

b)
z₁ soll quadriert werden.
z₁^2 = (2e^{π/3 i})^2
z₁^2 = 2^2 (e^{π/3 i})^2
z₁^2 = 4 e^{2π/3 i}

oder
z₁^2 = (1 + i√3)^2
z₁^2 = 1 + 2i√3 - 3
z₁^2 = -2 + 2i√3

c)

z₂ = 1 - i√3

z₁ + z₂ = 1 + i√3 + 1 - i√3
z₁ + z₂ = 2

z₁ * z₂ = (1 + i√3)(1 - i√3)
z₁ * z₂ = 1^2 - (i√3)^2 | dritte binomische Formel
z₁ * z₂ = 1 + 3
z₁ * z₂ = 4

d)
Bis auf z₄ ok.
z₄ = z₁ * z₂ = 4

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort und für deine Bemühung! O.K. ich konnte den Fehler finden.