Definitionsbereich und Monotonie

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4 (Definitionsbereich und Monotonie)
(4 Punkte)
Die folgenden Funktionen seien auf \( \mathbb{R} \) definiert. Geben Sie an, ob Sie monoton steigend sind, und beweisen Sie ihre Aussage mithilfe der Definition der Monotonie.
(i) \( f_{1}(x)=x^{3}+1 \)
(ii) \( f_{2}(x)=-1 \)
(iii) \( f_{3}(x)=x^{4}+2 x^{2}+1 \)
(iv) \( f_{4}(x)=|x| \)

Answer 1

Aloha :)

"Monoton steigend" bedeutet, dass die Funktionswerte mit wachsendem \(x\)-Wert ansteigen oder zumindest gleich bleiben. Formal kannst du diese Bedingung so schreiben:$$x<y\implies f(x)\le f(y)$$Beachte das \(\le\) Symbol auf der rechten Seite. Wenn Gleichheit nicht zugelassen ist, spricht man von "streng monoton steigend".

In den ersten beiden Teilaufgaben ist diese Bedingung erfüllt, denn:$$x<y\implies x^3<y^3\implies x^3+1<y^3+1\implies f_1(x)\le f_2(y)\quad\checkmark$$$$x<y \implies f_2(x)=-1=f_2(y)\implies f_2(x)\le f_2(y)\quad\checkmark$$

in den letzten beiden Teilaufgaben ist diese Bedingung verletzt, was man am besten duch ein Gegenbeispiel zeigt:$$f_3(-1)=4\;\land\;f_3(0)=1\implies f_3(-1)>f_3(0)$$$$f_4(-1)=1\;\land\;f_4(0)=0\implies f_4(-1)>f_4(0)$$

Answer 2

Monoton steigend beweisen mittels Definition:

Sei \(x\in \mathbb{R}\).

Sei \(h > 0\).

Begründe warum \(f_1(x+h) \geq f_1(x)\) ist.

Nicht monoton steigend beweisen mittels Definition:

Es ist \(f_3(-2) = 25\). Finde ein \(x>-2\), so dass \(f_3(x) < 25\) ist.