Aufgabe:
Eine Abbildung \( f: V → W\) zwischen zwei \( K-Vektorräumen (V, +,\odot)\) und \( (W, +,\odot)\) is \( K-linear \) falls für alle \( v, {v}_{1},{v}_{2}\in V \) und alle \( r ∈ K \) gilt \( f({v}_{1} + {v}_{2}) = f({v}_{1}) + f({v}_{2})\) und \( f(r\odot v) = r\odot f(v)\).
Welche der folgenden Abbildungen sind ℝ-linear?
Problem/Ansatz: $$ (e)\mathbb{R} [X]\rightarrow\mathbb{R} [X]\\ A\mapsto X^{2}*A $$ Ansatz: $$ f({A}_{1}+{A}_{2}) = {X}^{2} * ({A}_{1} + {A}_{2}) = {X}^{2} * {A}_{1} + {X}^{2} * {A}_{2} = f({A}_{1}) + f({A}_{2})$$ Somit wäre das erste Kriterium erfüllt jedoch habe ich keinen Ansatz für die Formel \( f(r\odot v) = r\odot f(v)\)
$$(f)\mathbb{R} [X]\rightarrow\mathbb{R}\\ A\mapsto A(7)$$ Ansatz: $$ f({A}_{1}+{A}_{2}) = ({A}_{1} + {A}_{2})(7) = {A}_{1}(7) + {A}_{2}(7) = f({A}_{1}) + f({A}_{2})$$ Hiermit wäre wieder das erste Kriterium erfüllt jedoch habe ich wieder keinen Ansatz für die Formel \( f(r\odot v) = r\odot f(v)\)
$$(g)\mathbb{R} [X]\rightarrow Abb (\,\mathbb{R} ,\mathbb{R}) \,\\ A\mapsto ev(A)$$ Hierbei bin etwas mehr verloren, auch wenn ich an sich weiß wie die Evaluationsabbildung (ev(A)) aussieht, fehlt mir glaube ich etwas die Vorstellung davon, wenn ich ein Polynom selbst auf dessen eigene Evaluationsabbildung abbilden solle.
Vielen Dank im Voraus für mögliche Ansätze/Lösungen/Hilfen etc.
Ich bin für alles gerne offen ^^
