Zeigen Sie, dass es ein k ∈ N gibt, sodass a^k b gilt.

Question

Aufgabe:

a) Seien a ∈ R mit a > 1 und b ∈ R gegeben. Zeigen Sie, dass es ein k ∈ N gibt, sodass a^k > b gilt. Zeigen Sie außerdem, dass lim n→∞ a^n = +∞
im Sinne der uneigentlichen Konvergenz gilt.

b) Seien a ∈ R mit 0 < a < 1 und b ∈ R mit b > 0 gegeben. Zeigen Sie, dass es ein k ∈ N
gibt, sodass a^k < b gilt. Leiten Sie anschließend die Formel
limn→∞ a^n = 0 her.

Answer 1

a)   Betrachte a^k > b . Für b≤0 ist das (wegen a>1) schon für k=1 erfüllt.

Sei nun b>0 . Dann gilt wegen der strengen Monotonie der ln-Funktion

a^k > b <=>  k*ln(a) > ln(b). Wegen a>1 ist ln(a)>0 und man kann dividieren

      <=>  k > ln(b) / ln(a) .

Nach Archimedes gibt es also solch ein k.

Damit kannst du auch die Def. der uneigentlichen Konvergenz

für solche Folgen verifizieren.