Zeigen Sie, dass K[X]× = K× gilt.

Question

Aufgabe:

Für einen Ring R mit Eins wird die Teilmenge der bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente mit R
× notiert.
Es sei K ein Körper.

Zeigen Sie, dass K[X]× = K× gilt.

Problem/Ansatz:

Kann mir eine bitte eine ausführliche Beweis zeigen, damit ich es sehen kann wie man eine macht.

Vielen Dank im voraus.

Comments

K* ⊆ K[x]* sollte klar sein

K[x]*  ⊆ K*:

Sei f in K[x]* dann existiert ein g in K[x] mit

f*g = 1.

Begründe hier, dass der Grad von f und g gleich 0 sein muss, das heißt nämlich das f und g bereits in K* liegen

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Könnten Sie erklären warum K* Teilmenge von K[X]* klar sein soll.

Ansonsten habe ich verstanden und ich danke für ihre Antwort.

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Naja ein u in K* ist ein Element von K. Alle Elemente von K, sind auch Elemente von K[x]

Jetzt gibt es außerdem ein v in K mit uv = 1 = vu, dieses v liegt auch in K[x]

Somit ist u in K[x] und es existiert ein v in K[x] mint uv = 1 = vu. Das heißt aber, dass u in K[x]* ist