Gruppentheorie zyklisch , Ordnung

Question

Aufgabe

G eine Gruppe mit Zentrum Z und p eine Primzahl. Zeigen Sie :

1. Ist G/Z zyklisch, so ist G abelsch.

2. Hat G die Ordnung p^2,so ist G abelsch . Bestimmen sie alle Gruppen der Ordnung p^2.

3.Es sei G nicht abelsch und habe Ordnung p^3. Dann hat Z die Ordnung p.

Comments

Habt ihr den Satz, dass das Zentrum einer p-Gruppe (also einer Gruppe

mit p^n Elementen) nicht nur aus dem neutralen Element besteht?

Answer 1

Zu 1.:

Sei \(G/Z\) zyklisch und \(n:=|G/Z|\). Dann gibt es ein \(g\in G\) mit

\(G/Z=\{Z,gZ,g^2Z,\cdots,g^{n-1}Z\}\).

Seien nun \(a,b\in G\), dann gibt es \(r,s\in\mathbb{N}\), so dass

\(a\in g^rZ,\; b\in g^sZ\), also

\(\exists z_a,z_b \in Z\) mit \(a=g^rz_a\) und \(b=g^sz_b\). Folglich

\(ab=g^rz_ag^sz_b=g^rg^sz_az_b=\), da \(z_*\) im Zentrum

\(g^{r+s}z_bz_a=g^sg^rz_bz_a=g^sz_bg^rz_a=ba\).

Also ist \(G\) abelsch.