Gruppentheorie zyklisch , Ordnung

Question

Aufgabe

G eine Gruppe mit Zentrum Z und p eine Primzahl. Zeigen Sie :

1. Ist G/Z zyklisch, so ist G abelsch.

2. Hat G die Ordnung p^2,so ist G abelsch . Bestimmen sie alle Gruppen der Ordnung p².

3.Es sei G nicht abelsch und habe Ordnung p³. Dann hat Z die Ordnung p.

Comments

Habt ihr den Satz, dass das Zentrum einer p-Gruppe (also einer Gruppe

mit pⁿ Elementen) nicht nur aus dem neutralen Element besteht?

Answer 1

Zu 1.:

Sei $G/Z$ zyklisch und $n:=|G/Z|$. Dann gibt es ein $g\in G$ mit

$G/Z=\{Z,gZ,g^2Z,\cdots,g^{n-1}Z\}$.

Seien nun $a,b\in G$, dann gibt es $r,s\in\mathbb{N}$, so dass

$a\in g^rZ,\; b\in g^sZ$, also

$\exists z_a,z_b \in Z$ mit $a=g^rz_a$ und $b=g^sz_b$. Folglich

$ab=g^rz_ag^sz_b=g^rg^sz_az_b=$, da $z_*$ im Zentrum

$g^{r+s}z_bz_a=g^sg^rz_bz_a=g^sz_bg^rz_a=ba$.

Also ist $G$ abelsch.