Beweis von Eigenschaften einer rekursiven Folge

Question

Guten Abend,

ich komme bei einer Aufgabe bei welcher man Eigenschaften einer rekursiven Folge zeigen soll, nicht alleine weiter.
Habe schon viel im Internet dazu recherchiert, aber ich schaffe es einfach nicht.


Aufgabe:

Sei \(a_n\) die folgende rekursiv definierte Folge positiv reeller Zahlen:$$a_1=9 \\a_{n+1}= \frac 12  \left( a_n + \frac 9{a_n}\right), \quad \forall n \in \mathbb N$$

Zeigen sie:
a) a_n >=3, für alle n
b) (a_n)_n ist monoton fallend.
c) (a_n)_n konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert lim a_n (n geht gegen +oo)

Problem/Ansatz:

Also bei der a) habe ich mithilfe des Grenzübergangs diese Formel bestimmt: a=0.5(a+9/a)
Aufgelöst habe ich dann die Lösungen +3 und -3. Wie muss ich nun zeigen, dass es die erste Lsg. ist, oder reicht das möglicherweise schon aus?

Nun zur b)
Ich weiß, dass a_n+1 < a_n sein muss, damit die Folge monoton fallend ist.
Ich habe dann aufgeschrieben:
a_n+1 - a_n <0
0,5 * (a_n + 9 / (a_n)) - a_n < 0
-0,5 * a_n+ 9 / (2 * a_n) <0

Irgendwie ergibt das keinen SInn für mich... wie muss ich hier weiter vorgehen?

Die c)

Die Konvergenz musste ich noch nie zeigen. Ich habe also hierzu keinen Ansatz :(


Über Hilfe würde ich mich sehr freuen, da ich schon echt an der Aufgabe verzweifelt bin...

Comments

Tipp zu (a): \(a_{n+1}^2-9=\dfrac14\left(a_n-\dfrac9{a_n}\right)^{\!2}\ge0\).

Tipp zu (b): \(a_n-a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-9}{2a_n}\ge0\).

Answer 1

Hallo :-)

Also bei der a) habe ich mithilfe des Grenzübergangs diese Formel bestimmt: a=0.5(a+9/a)

Dafür musst du aber erstmal die Existenz des Grenzwertes beweisen. Du musst also zeigen, dass \(a_n\) beschränkt und monoton ist. Die Beschränktheit (nach unten) zeigst du in a) und die Monotonie (fallend) zeigst du in b). Für beide Aufgabenteile eignet sich Induktion ganz gut.

Ich weiß, dass a_n+1 < a_n sein muss, damit die Folge monoton fallend ist.
Ich habe dann aufgeschrieben:
a_n+1 - a_n <0
0,5 * (a_n + 9 / (a_n)) - a_n < 0
-0,5 * a_n+ 9 / (2 * a_n) <0

Wenn dann \(a_{n+1}\leq a_n\). Das musst du zeigen. Du setzt aber einfach deine Folge in deine Behauptung (\(a_{n+1} < a_n\) bzw. \(a_{n+1}-a_n<0\)) ein und rechnest damit weiter. So darfst du aber nicht vorgehen, da deine Behauptung auch falsch sein kann. Und aus falschen Aussagen lassen sich wahre Aussagen schlussfolgern. Also eine gefährliche (und sinnfreie) Vorgehensweise.

Die c)

Die Konvergenz musste ich noch nie zeigen. Ich habe also hierzu keinen Ansatz :(

Wenn du a) und b) bewiesen hast, dann folgt die Existenz des Grenzwertes und du kannst deine Fixpunktgleichung \(a=0.5(a+9/a)\) hernehmen und lösen.

Comments

Für beide Aufgabenteile eignet sich Induktion ganz gut.

Beides lässt sich direkt zeigen.

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@ Arsinoë4  Ja, das kann man auch machen, falls man auf die Idee kommen sollte, deine obigen (Un) - Gleichheiten zu zeigen.

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Hallo, danke für die Antwort.

Die b) habe ich nun gelöst, aber ich verstehe nicht, was ich bei der a) machen muss.
Möglicherweise reicht mein Wissen nicht aus, um die Induktion oder den direkten Beweis durchzuführen :/

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Ok, also die a) konnte ich glaubich lösen.

a_1 >= 3
Also existiert mindestens ein n, das die Annahme erfüllt ist.

Nun zum Induktionsschritt:

3<= a_n+1 = 1/2 * (a_n + 9 / a_n)

<=> 3 <= 1/2 *a_n + 9 / 2 * a_n
<=> 0 <= 1/2 *a_n + 9 / 2 * a_n - 3
<=> - 9 /( 2* a_n ) <= 1/2* a_n - 3

<=> -9 <= (a_n)^2 -3
<=> 3 <= (a_n)^2 + 9

Stimmt das so ? o.o

Ich habe auch die c) probiert, aber wenn ich die Fixpunktgleichung löse, dann bekomme ich zwei Lösungen. Muss ich zeigen, dass es nur die eine seien kann?