Aloha :)
Wir wählen von 25 Männer und 10 Frauen zufällig 6 Personen aus. Die Frage ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mehr Männer als Frauen ausgewählt. Das heißt, wir suchen die Ereignisse:
a) 4 Männer und 2 Frauen
b) 5 Männer und 1 Frau
c) 6 Männer und 0 Frauen
Wir besprechen (a) ausführlich, dann sind (b) und (c) klar. Von den 25 Männern sollen 4 ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{25}{4}\) Möglichkeiten. Und von den 10 Frauen sollen 2 ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{10}{2}\) Möglichkeiten. Das sind zusammen \(\binom{25}{4}\cdot\binom{10}{2}\) günstige Fälle, in denen das Ereignis (a) eintritt. Insgesamt gibt es \(\binom{35}{6}\) Möglichkeiten, aus den 35 Personen genau 6 auszuwählen. Damit haben wir die Wahrscheinlichkeit für (a) gefunden:$$p(a)=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{25}{4}\cdot\binom{10}{2}}{\binom{35}{6}}=\frac{5175}{14756}\approx0,350705$$
Die beiden anderen Fälle ergeben sich völlig analog:$$p(b)=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{25}{5}\cdot\binom{10}{1}}{\binom{35}{6}}=\frac{345}{1054}\approx0,327324$$$$p(c)=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{25}{6}\cdot\binom{10}{0}}{\binom{35}{6}}=\frac{115}{1054}\approx0,109108$$
Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, mehr Männer als Frauen auszuwählen:$$p(M>F)=p(a)+p(b)+p(c)=\frac{11615}{14756}\approx0,787137\approx78,7\%$$
