Zeigen Sie, dass FN0 einen F-Vektorraum bzgl.

Question

Sei F ein Körper.
a)  Sei F^N0:= {f : N0 → F} die Menge aller Folgen in F (der sog. Folgenraum). Ein Elementf ∈ F^N0
ist also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in den Körper F. Es ist
gebräuchlich f = (a_i)_i∈N0 zu schreiben, wodurch klar wird, dass der Funktionswert von f an der Stelle j ∈ N0 gerade f(j) = a_j ist.
Zeigen Sie, dass F^N0 einen F-Vektorraum bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren
∀ f = (a_i)_i∈N0, g = (b_j)_j∈N0 ∈ F^N0, λ ∈ F :f + g := (a_i + b_i)_i∈N0 , λ · f : (λa_i)_i∈N0
bildet.

(b) Sei X eine abstrakte Unbestimmte. Dann definieren wir die Menge der Polynome Über F als F [X] := {(a_i)_i∈N0 ∈ F^N0 | a_i ≠ 0 für endlich viele i ∈ N0},
wobei (a_i)_i∈N0 ∈ F [X] formell mit p(X) := P∑^∞_i=0 a_iXⁱ identifiziert wird.
Zeigen Sie, dass F [X] ein Unterraum von F^N0 ist.

Comments

Frage: Welche Bedeutung haben solche Aufgaben?

Kommen sie irgendwo in der Realität vor oder sind das nur "Spielereien" unter Adepten?

Answer 1

Hallo

du musst doch nur die VR Axiome zeigen? was klappt dabei nicht?

bei b) wieder VR Axiome zeigen, dass es dann ein UVR des Folgenraums ist wenn es ein VR ist ist klar.

lul