Ungleichungen lösen:

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass für alle positiven reellen Zahlen a und b gilt:

$$\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

Wie kann ich die Aufgabe lösen?

Comments

Aufgabe nicht lesbar!

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Hab's korrigiert.

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@Eve: Die Aussage ist offensichtlich falsch. Ebenso offensichtlich ist die richtige Aufgabe. Bitte korrigiere das mal.

Answer 1

1.schreib die Ungleichung richtig!

2. benutze (√a-√b)^2>=0

3. sag, was du versucht hast!

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

ich vermute mal:

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

$$\frac{2}{\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

$$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

$$\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \leq {ab} \leq \frac{(a+b)^2}{4}$$

$$16a^2b^2\leq4ab(a+b)^2\leq(a+b)^4$$

$$16a^2b^2\leq4a^3b+8a^2b^2+4ab^3\leq a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

Linke Ungleichung:

$$16a^2b^2\leq4a^3b+8a^2b^2+4ab^3$$

$$4ab\leq a^2+2ab+b^2$$

$$0\leq a^2-2ab+b^2$$

$$0\leq(a-b)^2~~~~\checkmark$$

Rechte Ungleichung:

$$4ab(a+b)^2\leq(a+b)^4$$

$$4ab\leq(a+b)^2$$

$$4ab\leq a^2+2ab+b^2$$

$$0\leq a^2-2ab+b^2$$

$$0\leq(a-b)^2~~~~\checkmark$$

:-)