Sei \mathbb{K} ein Körper, V, W seien \mathbb{K} -Vektorräume

Question

Aufgabe ( 7.1 \)

Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, \( V, W \) seien \( \mathbb{K} \)-Vektorräume und \( f: V \rightarrow W \) sei eine Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

i) Der Graph \( \Gamma_{f} \) von \( f \) ist genau dann ein Unterraum von \( V \times W \), wenn die Abbildung \( f \) linear ist.
ii) Wenn die Abbildung \( f \) ein linearer Isomorphismus ist, gilt \( \Gamma_{f}=V \times W \).

Answer 1

i)  Richtung <==, also: Wenn f linear, dann Γ_f Unterraum.

Wegen der Linearität ist f(0)=0 , also ist  Γ_f eine Teilmenge

von V x W, die (0;0) enthält.

Abgeschlossenheit gegenüber +

Seien (a,b) und (x,y) ∈ Γ , also f(a)=b und f(x)=y

==> (wegen Lin.)   f(a+x) = f(a) + f(x) =b+y ,

also auch (a+x, b+y) ∈ Γ.

Abgeschlossenheit gegenüber S-Multiplikation:

Sei a∈K und (x,y) ∈ Γ

==>    f(x)=y  wegen lin. also auch f(ax)=af(x)=ay

somit (ax;ay)  ∈ Γ

Damit sind die Unterraumkriterien erfüllt.

umgekehrt: Sei Γ  Unterraum von V x W

Und seinen  a und x aus V .

==>   ( a;f(a) )    ∈ Γ    und  ( x ; f(x) )  ∈ Γ
Da   Γ Unterraum folgt

      ( a;f(a) )   + ( x ; f(x) )  ∈ Γ

==>     ( a+x ;f(a)+f(x)  )    ∈ Γ

==>   f(a+x) = f(a) + f(x) also f additiv.

f homogen folgt entsprechend.

Answer 2

ii) Gegenbeispiel: sei \(V=W\neq \{0\} \) und \(f=id_V\).

Dann ist \(\Gamma_f=\{(v,v): \; v\in V\}\subsetneq V\times V\).

Comments

danke dir auch fur die Antwort