Problem mit Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Eigenräume

Es sei ϕ ∈ L(V) ein Endomorphismus im K-Vektorraum V. Außerdem seien c1, c2 ∈ K zwei
Eigenwerte von ϕ mit c1 != c2. Zeigen Sie, dass die Eigenräume
Eig(c1)ϕ := Ker(ϕ − c1 idV), Eig(c2)ϕ := Ker(ϕ − c2 idV)

unabhängig sind.
Problem/Ansatz:

Koennten Sie bitte mir mit dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Ich zeige, dass die Summe $Eig(c_1)+Eig(c_2)$ direkt ist:

Sei $v\in Eig(c_1)\cap Eig(c_2)$. Dann gilt

$c_1v=\phi(v)=c_2v$, also $(c_1-c_2)v=0\Rightarrow v=0$, da $c_1\neq c_2$.

Folglich haben wir

$Eig(c_1)+Eig(c_2)=Eig(c_1)\oplus Eig(c_2)$.

Comments

Muss man nicht dazu noch beweisen, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten linear unabhängig sind ?

---

Was hat es mit unabhänkigkeit zu tun , so zu sagen

---

Nein. Das muss man nicht; denn das ergibt sich automatisch

aus der Tatsache, dass die Summe direkt ist.

---

alles klar danke

---

Seien $U_1,U_2$ Unterräume mit $V=U_1\oplus U_2$.

Seien $v_1\in U_1, v_2\in U_2$ linear abhängige Vektoren $\neq 0$,

dann erzeugen $v_1$ und $v_2$ denselben eindimensionalen Unterraum

$Span(\{v_1\})=Span(\{v_2\})$ von $V$. Ist dann $v\neq 0$ irgendein Vektor

dieses Unterraums, so folgt $v\in U_1\cap U_2=\{0\}$,

also $v_1=0$ und $v_2=0$. Widerspruch !

---

was muss man denn tun?

---

"was muss man denn tun?"

Verstehe ich nicht. Habe doch alles gezeigt.

---

hab` schon verstanden, danke