Problem mit Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Eigenräume

Es sei ϕ ∈ L(V) ein Endomorphismus im K-Vektorraum V. Außerdem seien c1, c2 ∈ K zwei
Eigenwerte von ϕ mit c1 != c2. Zeigen Sie, dass die Eigenräume
Eig(c1)ϕ := Ker(ϕ − c1 idV), Eig(c2)ϕ := Ker(ϕ − c2 idV)

unabhängig sind.
Problem/Ansatz:

Koennten Sie bitte mir mit dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Ich zeige, dass die Summe \(Eig(c_1)+Eig(c_2)\) direkt ist:

Sei \(v\in Eig(c_1)\cap Eig(c_2)\). Dann gilt

\(c_1v=\phi(v)=c_2v\), also \((c_1-c_2)v=0\Rightarrow v=0\), da \(c_1\neq c_2\).

Folglich haben wir

\(Eig(c_1)+Eig(c_2)=Eig(c_1)\oplus Eig(c_2)\).

Comments

Muss man nicht dazu noch beweisen, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten linear unabhängig sind ?

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Was hat es mit unabhänkigkeit zu tun , so zu sagen

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Nein. Das muss man nicht; denn das ergibt sich automatisch

aus der Tatsache, dass die Summe direkt ist.

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alles klar danke

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Seien \(U_1,U_2\) Unterräume mit \(V=U_1\oplus U_2\).

Seien \(v_1\in U_1, v_2\in U_2\) linear abhängige Vektoren \(\neq 0\),

dann erzeugen \(v_1\) und \(v_2\) denselben eindimensionalen Unterraum

\(Span(\{v_1\})=Span(\{v_2\})\) von \(V\). Ist dann \(v\neq 0\) irgendein Vektor

dieses Unterraums, so folgt \(v\in U_1\cap U_2=\{0\}\),

also \(v_1=0\) und \(v_2=0\). Widerspruch !

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was muss man denn tun?

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"was muss man denn tun?"

Verstehe ich nicht. Habe doch alles gezeigt.

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hab` schon verstanden, danke