Wie löse ich folgende Induktion 2n+1≤2n

Question

Hallo Forum,

heute habe ich einmal eine Frage. Ich hoffe das die Antworten auf meine erste Frage hier im Forum anderen auch so weiterhelfen werden wie mir bisher.

Zu meinem Problem, ich soll eine vollständige Induktion für folgende Aufgabe machen:

2n+1≤2ⁿ n ∈ N

Ich möchte ganz ehrlich sein, ich kenne mich nicht so richtig aus und würde es wirklich schätzen wenn sich jemand hier im Forum die Arbeit machen würde mir das demonstrieren könnte.

Comments

Induktionsanfang: Für n=0 gilt 1<= 1

Induktionsschritt: Für alle n aus Natürlichen Zahlen gilt deine Formel "hinschreiben"

Induktionsschluss: Für n+1 gilt 2^n+1 =2^n *2 =(2n+1)*2=4n+2>2n+2 =2(n+1)+1

---

2ⁿ *2 =(2n+1)*2 ? 2n+2 = 2(n+1)+1 ?
Die Ungleichung gilt nicht für alle natürlichen Zahlen.

---

Die Antwort von Arsinoë4 kam verzögret bei mir an. In der Angabe steht sei n Element aus N

Danke einmal, beim Induktionsschritt, muss ich da nicht irgendwie die rechte und die linke Seite gleich setzen, oder habe ich da was falsch verstanden?

---

Jo gilt erst ab n>= 3.

Was willst du denn gleichsetzen?

---

Bei uns wurde es so vorgerechnet, das die Professorin am Ende immer linke Seite = rechte Seite geschrieben hat beim Induktionsschritt und da komm ich gar nicht so recht damit.

---

Meinst du nicht vielleicht damit, dass sie  einfach nur nicht nochmal die Formel hinschreiben wollten? Wäre denke ich ein plausibler Grund

---

Hab's mir gerade nochmal angesehen und zwar war das der Induktionsanfang wo sie das geschrieben hat, der passt ja hier jetzt auch weil wenn ich für n 0 einsetze, dann sind beide Seiten gleich.

Die Ungleichung hat mich einfach so verwirrt.

Also heißt das beim Induktionsschritt schreibe ich immer die Aussage hin und dann wann diese wahr ist? Oder versteh ich das noch falsch?

---

Ich hatte induktionsschritt geschrieben. Besser ist induktionsvoraussetzung: Dort schreibst du immer hin, was du eigentlich zeigen willst. Denk nur wie gesagt dran in diesem Fall gilt die Ungleichung nur für alle natürlichen Zahlen größer gleich 3.

---

Sie nennt es auch Induktionsschritt.

Alles klar und dann schau ich nur noch ab wanns zutrifft, in dem Fall bei allen größer als 3 wie du sagt weils ja sonst keine wahre Aussage währe. Gut das habe ich jetzt verstanden.

Zum Induktionsschluss hab ich noch eine Frage und zwar hier wird immer (n+1) auf beiden Seiten dazu addiert? Sie hat es nämlich bei dem einen Beispiel das in den Unterlagen von mir ist auch gemacht.

---

Ich weiß jetzt nicht ganz genau wie du das meinst, aber ist dir denn wenigstens meine Vorgehensweise von dem Induktionsschluss klar

---

Ja du zeigst das die Aussage auch für n+1 gilt oder?

Answer 1

........................... .

Comments

Ja du zeigst das die Aussage auch für n+1 gilt oder?

---

Jaa in dem du dir eine Seite aussuchst, in diesem Fall nehme ich die 2^n und setzte dann n+1 für n ein also 2^(n+1) und versuche das so umzuformen, dass ich meine Induktionvoraus. Drauf anwenden kann und Schlussendlich auch für die linke Seite die Form 2(n+1)+1 erreiche

Dazu muss ich halt mit Potenzgesetzen arbeiten 2^(n+1) = (2^n) *2 und jetzt kann ich gerade meine Induktionsvoraus. Auf 2^n anwenden und nach unten durch (2n+1) *2 abschätzen und dann muss ich nur nochmal abschätzen nach unten und dann komme ich auf die gewünschte Form

---

Super, danke dir!

---

An Rolands Ausführung siehst du: Es gibt unterschiedliche Wege wie man den Induktionsschluss führen kann, aber immer geht die Induktionsvoraussetzung ein.

Answer 2

Im Induktionsschritt ist zu zeigen:

Aus

2n+1≤2ⁿ ⇒ 2(n+1)+1≤2ⁿ⁺¹ für n>2

dazu addiere 2≤2ⁿ zur Induktionsvoraussetzung und forme um.

Comments

Muss ich das nicht erst zum Schluss machen?

---

Die vollständige Induktion besteht aus zwei Schritten:

1. Induktionsanfang

2. Induktionsschluss.

Ich habe mich zum zweiten Schritt gäußert. Danach ist tatsächlich Schluss.

---

Achso, ich dachte immer die Besteht aus Induktionanfang/Induktionsschritt/Induktionsschluss, aber das heißt der Schritt ist eigentlich unnötig?

---

Der Induktionsschritt ist diejenige Rechnung, die im Rahmen des Induktionsschlusses erforderlich wird. Da sie bisher weder von mir noch von dir geleistet wurde, führe ich sie vor

2n+1≤2ⁿ addiere 2≤2ⁿ

2n+1+2≤2ⁿ+2ⁿ

forme um:

2n+2+1≤2·2ⁿ oder

2(n+1)+1≤2ⁿ⁺¹, was zu zeigen war.