Zeigen Sie, dass x und ζ aus (b) die folgenden Gleichungen erfüllen: 1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0.

Question

Aufgabe:

Zwei Streckenlängen b,c ∈ R mit b > c > 0 stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts, wenn das Verhältnis a = b/c der längeren Strecke b zur kürzeren Strecke c gleich dem Verhältnis a′ = (b + c)/b der Summe der beiden Strecken zur längeren Strecke ist.
Wir beweisen mit Hilfe komplexer Zahlen, dass die Diagonalen und die Seiten eines regelmä- ßigen Fünfecks im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen.

(c) Zeigen Sie, dass x und ζ aus (b) die folgenden Gleichungen erfüllen:

1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( 1+G+G+G^{3}+G^{4}=0 \)
\( 1+G\left(1+C_{1}+C_{1}^{2}+C^{3}\right)=0 \)
\( 1+G\left(C_{1}^{2}(1+G)+1 \cdot(1+C)=\right. \)
\( 1+G\left(G^{2}\left(1+C_{1}\right)=0\right. \)

Stimmt der Ansatz? Wie mache ich jetzt weiter?

Comments

Was ist denn (b) ????

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(a) Zeigen Sie zunächst, dass zwei Streckenlängen b, c ∈ R mit b > c > 0 genau dann im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen, wenn a = b/c die Gleichung a^2 − a − 1 = 0 erfüllt. Bestimmen Sie alle positiven Lösungen a dieser Gleichung.

(b) Begründen Sie anhand der Skizze, dass das gesuchte Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge gegeben ist durch x = |1 − ζ^2|/|1 − ζ| mit ζ = e^2πi/5.

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Das ist die Skizze dazu.