0 Daumen
271 Aufrufe

Aufgabe:

Zwei Streckenlängen b,c ∈ R mit b > c > 0 stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts, wenn das Verhältnis a = b/c der längeren Strecke b zur kürzeren Strecke c gleich dem Verhältnis a′ = (b + c)/b der Summe der beiden Strecken zur längeren Strecke ist.
Wir beweisen mit Hilfe komplexer Zahlen, dass die Diagonalen und die Seiten eines regelmä- ßigen Fünfecks im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen.

(c) Zeigen Sie, dass x und ζ aus (b) die folgenden Gleichungen erfüllen:

1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0


Problem/Ansatz:

blob.png

Text erkannt:

\( 1+G+G+G^{3}+G^{4}=0 \)
\( 1+G\left(1+C_{1}+C_{1}^{2}+C^{3}\right)=0 \)
\( 1+G\left(C_{1}^{2}(1+G)+1 \cdot(1+C)=\right. \)
\( 1+G\left(G^{2}\left(1+C_{1}\right)=0\right. \)


Stimmt der Ansatz? Wie mache ich jetzt weiter?

Avatar von

Was ist denn (b) ????

(a) Zeigen Sie zunächst, dass zwei Streckenlängen b, c ∈ R mit b > c > 0 genau dann im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen, wenn a = b/c die Gleichung a^2 − a − 1 = 0 erfüllt. Bestimmen Sie alle positiven Lösungen a dieser Gleichung.


(b) Begründen Sie anhand der Skizze, dass das gesuchte Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge gegeben ist durch x = |1 − ζ^2|/|1 − ζ| mit ζ = e^2πi/5.

blob.png

Das ist die Skizze dazu.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community