Hallo:-)
Du sollst zeigen, dass das Nullpolynom
$$0=0\cdot X^6+0\cdot X^5+0\cdot X^4+0\cdot X^3+0\cdot X^2+0\cdot X^1+0\cdot X^0\in \mathbb{Q}[X]$$
als Linearkombination über die Polynome \(\{3X - X^5 , 4X + X^3 , 5X - X^5 - X^6\}\) nur trivial darstellbar ist. Dazu betrachte ich für \(a,b,c\in \mathbb{Q}\)
$$ 0=a\cdot (3X - X^5)+b\cdot (4X + X^3)+c\cdot (5X - X^5 - X^6)\\=-c\cdot X^6+(-a-c)\cdot X^5+b\cdot X^3+(3a+4b+5c)\cdot X $$
Zeige nur noch, dass daraus \(a=b=c=0\) folgt.
\( \{f \in Q[X] \mid \operatorname{deg} f \leq 6\} \) braucht 7 linear unabhängige Polynome. Du hast schon 3 linear unabhänige. Fehlen also noch 4. \(X^2\) und \(X^4\) kamen noch nicht vor. Jetzt fehlen noch zwei. Bastel dir mal noch ein Polynom mit Grad kleinergleich 2, aber \(\neq X^2\) und eins mit maximal Grad 4, aber \(\neq X^4\).
