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Sei B ⊆ V und sei B ein minimales K-Erzeugendensystem für V . Zeigen Sie, dass dann B linear unabhängig über K ist!

Ist umgekehrt auch jede K-linear unabhängige Teilmenge von V ein Erzeugendensystem für V über K, vielleicht sogar ein minimales? 

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Sei B ein minimales Erz.syst. für V.

Angenommen, B sei lin. abh.

Dann gäbe es ein Element x von B, das sich als Lin.komb. der

übrigen Elemente von B darstellen läßt.     #

Sei nun v aus V. Dann läßt sich v durch eine Lin.komb.

der Elemente von B darstellen.  In dieser Darstellung könnte

man x durch ie in # genannte Lin.komb. ersetzen

und hätte eine Linearkomb. von v , in der x nicht vorkommt.

Weil das für jedes v aus V so ist, könnte man auf das x in der

Menge B verzichten und hätte immer noch ein

Erz.syst.   B  wäre also nicht minimal.   Widerspruch!

zur 2. Frage:  Nein !

Betrachte n R^2 die Menge   {(1,0) }

Sie ist linear unabhh. aber kein Erz.syst.

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