Sorry. Habe es jetzt erst gesehen. Ich präsentiere mal meinen Weg.
Sei \(v_1\in V\) Eigenvektor zum Eigenwert \(c_1\in \mathbb{K}\) und \(v_2\in V\) Eigenvektor zum Eigenwert \(c_2\in \mathbb{K}\), wobei \(c_1\neq c_2\) gilt. Angenommen, \(v_1\) und \(v_2\) sind linear abhängig. Dann gilt \(v_1=\lambda\cdot v_2\) für ein \(\lambda\in \mathbb{K}\).
Dann gilt weiter
$$ c_1\cdot v_1=\varphi(v_1)=\varphi(\lambda\cdot v_2)=\lambda\cdot \varphi(v_2)=\lambda\cdot c_2\cdot v_2=c_2\cdot (\lambda\cdot v_2)=c_2\cdot v_1 $$
und damit \((c_1-c_2)\cdot v_1=0\in V\). Da \(v_1\neq 0\in V\), folgt \(c_1-c_2=0\in \mathbb{K}\), also \(c_1=c_2\). Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(c_1\neq c_2\) gilt.
