Eigenvektoren: Zeigen Sie, dass die Eigenräume unabhängig sind.

Question

Frage:

Es sei $\varphi\in L(V)$ ein Endomorphismus im $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$. Außerdem seien $c1, c2\in \mathbb{K}$ zwei Eigenwerte von $\varphi$ mit $c_1\neq c_2$. Zeigen Sie, dass die Eigenräume

$$\text{Eig}_{c_1}\varphi:=\text{Ker}(\varphi-c_1\cdot id_V),\quad \text{Eig}_{c_2}\varphi:=\text{Ker}(\varphi-c_2\cdot id_V)$$

linear undabhängig sind.

Problem:

Kann mir jemand bitte bitte bitte helfen? Ich brauche diese Aufgabe unbedingt.

Ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann. :( :(

Answer 1

Hallo :-)

Probiere doch mal einen Widerspruchsweis: Nimm also einen Eigenvektor $v_1\in V$ zum Eigenwert $c_1\in \mathbb{K}$ und einen Eigenvektor $v_2\in V$ zum Eigenwert $c_2\in \mathbb{K}$. Nehme an, dass $v_1$ und $v_2$ linear abhängig sind. Was kannst du daraus folgern?

Comments

Aaaaahhhhhhhh??????!!!!

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Kannst du bitte bitte genauer helfen?

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Ich weiß es nicht :( :( :(

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Linear abhängig heißt hier $v_1=\lambda\cdot v_2$ für ein $\lambda\in \mathbb{K}$.

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Ich muss diese Aufgabe in einer Stunde abgeben und ich komme damit nicht weiter :(

Kannst du mir nicht die Lösung schreiben? :''D

Ich werde sehr sehr sehr DANKBAR!

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Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/893527/problem-mit-eigenvektoren#c893785

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Ich bitte dich um deine Hilfe

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Vielen bielen Dank

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Sorry. Habe es jetzt erst gesehen. Ich präsentiere mal meinen Weg.

Sei $v_1\in V$ Eigenvektor zum Eigenwert $c_1\in \mathbb{K}$ und $v_2\in V$ Eigenvektor zum Eigenwert $c_2\in \mathbb{K}$, wobei $c_1\neq c_2$ gilt. Angenommen, $v_1$ und $v_2$ sind linear abhängig. Dann gilt $v_1=\lambda\cdot v_2$ für ein $\lambda\in \mathbb{K}$.

Dann gilt weiter

$$c_1\cdot v_1=\varphi(v_1)=\varphi(\lambda\cdot v_2)=\lambda\cdot \varphi(v_2)=\lambda\cdot c_2\cdot v_2=c_2\cdot (\lambda\cdot v_2)=c_2\cdot v_1$$

und damit $(c_1-c_2)\cdot v_1=0\in V$. Da $v_1\neq 0\in V$, folgt $c_1-c_2=0\in \mathbb{K}$, also $c_1=c_2$. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass $c_1\neq c_2$ gilt.

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Woow dankeschön. Das war sehr hilfreich :)

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Könnt ihr mich bite bitte auch bei dirser Frage helfen? Ich kann mein Problem in dieser Frage nicht beheben. Das ist sehr wichtig für mich.

Frage:

Sei n ∈ N und seien a₁, ..., a_n ∈ Z. Dann gibt es k, l ∈ N mit 0 ≤ k ≤ l ≤ n, so dass gilt:

n | a_k+1 + ... +a_l