Aufgabe:
Berechnen Sie folgende R-Integrale
(i) \( \int \limits_{A} \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \) für \( A:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x_{1}, x_{1} \leq x_{2}, x_{2} \leq \pi / 2\right\} \).
(ii) \( \int \limits_{A}\left(\frac{3}{2} x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \quad \) für \( A:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{1}+x_{2} \leq 2\right\} \).
Hinweis für (i): Definition 1.15.14, \( A \subseteq[0,2]^{2} \) und \( \mathbb{1}_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\mathbb{1}_{[0, \pi / 2]}\left(x_{1}\right) \mathbb{1}_{[0, \pi / 2]}\left(x_{2}\right) \mathbb{1}_{\left(-\infty, x_{2}\right]}\left(x_{1}\right) \), \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \), implizieren, dass
\( \begin{aligned} \int \limits_{A} \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) &=\int \limits_{[0,2]^{2}} \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \mathbb{1}_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \\ &=\int \limits_{[0,2]^{2}} \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \mathbb{1}_{[0, \pi / 2]}\left(x_{1}\right) \mathbb{1}_{[0, \pi / 2]}\left(x_{2}\right) \mathbb{1}_{\left(-\infty, x_{2}\right]}\left(x_{1}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \\ &=\int \limits_{[0, \pi / 2]^{2}} \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \mathbb{1}_{\left(-\infty, x_{2}\right]}\left(x_{1}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) . \end{aligned} \)
Sie können außerdem (ohne Begründung) benutzen, dass das R-Integral in der letzten Zeile existiert und dessen Integrand die Voraussetzungen des Satzes von Fubini (Theorem 1.15.9) erfüllt. Man beachte zudem, dass \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathbb{1}_{(-\infty, y]}(x) d x=\int \limits_{a}^{y} f(x) d x \) und \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathbb{1}_{[y, \infty)}(x) d x=\int \limits_{y}^{b} f(x) d x \) für alle \( y \in[a, b] \), wobei \( a, b \) reelle Zahlen mit \( a<b \) sind und \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion ist.
Hinweis für (ii): Man beachte, dass \( \mathbb{1}_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\mathbb{1}_{[0,2]}\left(x_{1}\right) \mathbb{1}_{[0,2]}\left(x_{2}\right) \mathbb{1}_{\left(-\infty, 2-x_{2}\right]}\left(x_{1}\right),\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) und verfahre weiter wie bei (i).
