Aloha :)
Der Integrand ist stetig über den Integrationsintervallen, insbesondere wird der Nenner nie \(=0\). Da die Integrationsgrenzen nicht von anderen Integrationsvariablen abhängen, ist zudem die Integrationsreihenfolge beliebig.
$$\phantom{=}\int\limits_A\frac{2x_3}{(x_1+x_2)^2}\,d(x_1,x_2,x_3)=\int\limits_{x_1=1}^2\;\;\int\limits_{x_2=2}^3\;\;\int\limits_{x_3=0}^1\frac{2x_3}{(x_1+x_2)^2}\,dx_1\,dx_2\,dx_3$$$$=\int\limits_{x_1=1}^2\left(\;\;\int\limits_{x_2=2}^3\frac{1}{(x_1+x_2)^2}\,dx_2\right)dx_1\int\limits_{x_3=0}^12x_3\,dx_3=\int\limits_{x_1=1}^2\left[-\frac{1}{(x_1+x_2)}\right]_{x_2=2}^3\!\!dx_1\cdot\left[x_3^2\right]_{x_3=0}^1$$$$=\int\limits_{x_1=1}^2\left(-\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_1+2}\right)dx_1\cdot\left(1-0\right)=-\int\limits_{x_1=1}^2\frac{1}{x_1+3}dx_1+\int\limits_{x_1=1}^2\frac{1}{x_1+2}dx_1$$$$=\left[-\ln(x_1+3)\right]_{x_1=1}^2+\left[\ln(x_1+2)\right]_{x_1=1}^2=-\ln5+\ln4+\ln4-\ln3=\ln\left(\frac{16}{15}\right)$$
