Vektor ist nicht Element aus einem Richtungsraum R*Vektor2 wenn lambda*v1+mu*v2 = 0 sind

Question

Aufgabe:

Sei \(n \in \mathbb{N}, v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{n}, v_{2} \neq 0\) und \(\lambda, \mu \in \mathbb{R} .\) Zeigen Sie, dass \(v_{1} \notin \mathbb{R} v_{2}\) genau dann wenn aus \(\lambda v_{1}+\mu v_{2}=0, \lambda=\mu=0\) folgt.

Problem/Ansatz:

Ich vertehe nicht wirklich den Zusammenhang zwischen v1 ist nicht Teil des Richtungsraums und dem was daraus folgen soll. Weiss nicht wirklich wie ich da ansetzen soll oder was ich betrachten soll um einen Ansatz zu finden mir scheint es an Grundverständnis bei diesem Thema zu fehlen, könnte jemand so nett sein und mir auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Sei \(n \in \mathbb{N}, v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{n}, v_{2} \neq 0\) und \(\lambda, \mu \in \mathbb{R} .\)

 \(v_{1} \notin \mathbb{R} v_{2}\)==>   Es gibt keine x∈ℝ  mit \(v_{1} = x \cdot  v_{2}\)   #

Sei nun \(\lambda v_{1}+\mu v_{2}=0 \) und angenommen μ≠0

Dann folgt:   \(\lambda v_{1}+\mu v_{2}=0 \)

==>     \(\lambda v_{1}=-\mu v_{2} \)

==>    \(\frac {\lambda}{-\mu}  v_{1}= v_{2} \)

Dann wäre     \(x = \frac {\lambda}{-\mu} \) im Widerspruch zu #.

Angenommen, es wäre μ=0   und  λ≠0  , dann folgt:    \(\lambda v_{1}+\mu v_{2}= \vec{0} \)

==>     \(\lambda v_{1}+ 0 \cdot v_{2}  =\vec{0} \)

==>    \(\lambda v_{1}+ \vec{0} =  0 \cdot v_{2} \)

Damit wäre x=0 im Widerspruch zu #.

Die andere Richtung entsprechend.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort leider übersteigt dass immernoch mein Verständnis. Wie komm ich überhaupt zu der annahme " Es gibt keine x∈ℝ  mit \(v_{1} = x \cdot v_{2}\)" Also was wäre die mathematische Logik dahinter? Dann im ersten Teil wird also gezeigt was passiert wenn μ nicht null ist was zeigt dass μ null sein muss da es sonst zu einem Widerspruch kommt? Wieso ist denn in der 3ten Zeile nach # -\(\mu v_{2}=0 \) ? Für mich sieht dass aus als würde es auf die andere Seite gebracht sollte dass nicht die 0 "ersetzten"? Der zweite Teil ist dann ehrlich gesagt ganz unverständlich für mich was bedeutet der Pfeil über der 0? Und warum tauscht die 0 mit dem Pfeil plötzlich die Seiten?

Am Ende folgt dass wenn ich durch v1 teile lambda gleich 0 ist was wieder ein Widerspruch ist, verstehe ich das richtig? Was ist denn dann noch die Rückrichtung die es zu zeigen gilt wäre dann nicht schon gezeigt dass aus \(\lambda v_{1}+\mu v_{2}=0, \lambda=\mu=0\) folgt wenn v1 nicht das Ergebnis einer Multiplikation von v2 mit einem x sein soll? Vielen Dank nochmal für deine Mühe!

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Wie komm ich überhaupt zu der annahme " Es gibt keine x∈ℝ  mit \(v_{1} = x \cdot v_{2}\)"

Das ist nichts anderes als  \(v_{1} \notin \mathbb{R} v_{2}\)

Wieso ist denn in der 3ten Zeile nach # -\(\mu v_{2}=0 \) ?

Tut mir Leid, das "=0" muss weg, war so eine Folge von etwas

unkonzentriertem "copy- paste". Das "=0" wird ja auch nicht weiter

genutzt, ich korrigiere das.

was bedeutet der Pfeil über der 0?

Das soll der 0-Vektor sein. Ich dachte es sei hier

hilfreich zu unterscheiden wo Zahl 0 und

wo 0-Vektor steht, da das ja beides vorkommt.

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Ich verstehe den 2ten Teil leider gar nicht so sehr ich versuche mich reinzudenken x wäre dann dass lambda in der letzten Zeile? Wir haben doch angenommen dass lambda nicht 0 ist? Könntest du genauer erklären was im 2ten Teil passiert?

Und die Rückrichtung ist dann wir nehmen an dass \(\lambda v_{1}+\mu v_{2}=0  mit \lambda=\mu=0\) und muss daraus folgern dass es kein x ∈ℝ  mit \(v_{1} = x \cdot v_{2}\) gibt? Da sehe ich nicht wie ich da vorgehen kann