Aloha :)
Die gesuchten linearen Abbildungen können wir durch Matrizen \(F_1\) und \(F_2\) beschreiben. Vorläufig wissen wir allerdings nur, wie diese Matrizen auf einige Vektoren wirken sollen.
$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=F_1\cdot\binom{1}{2}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=F_1\cdot\binom{2}{1}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=F_1\cdot\binom{-1}{4}$$$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=F_2\cdot\binom{1}{2}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=F_2\cdot\binom{2}{1}\quad;\quad\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}=F_2\cdot\binom{-1}{4}$$
Das können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=F_1\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1\\2 & 1 & 4\end{array}\right)$$$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}=F_2\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1\\2 & 1 & 4\end{array}\right)$$
Die Abbildungsmatrizen müssen 2 Spalten (Eingänge) und 3 Zeilen (Ausgänge) haben. Wenn wir jeweils die 3-te Spalte in den beiden Matrix-Gleichungen weglassen, erhalten wir für beide Fälle dieselbe Gleichung:
$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}=F_i\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\implies F_i=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-\frac13 & \frac23\\[1ex]\frac23 & -\frac13\\[1ex]0 & 0\end{array}\right)$$
Damit ist klar, dass die lineare Abbildung \(F_1\) nicht existiert, denn \(F_i\) liefert für die 3-te Koordinate stets den Wert \(0\). Die Abbildung \((-1|4)\mapsto(0|0|1)\) ist daher nicht möglich.
Wir prüfen, ob die Abbildung \(F_2\) exisitiert. Da wir die mögliche Abbildungsmatrix kennen, können wir prüfen, ob \((-1|4)\) auf \((3|-2|0)\) abgebildet wird:$$F_2\binom{-1}{4}=\left(\begin{array}{rr}-\frac13 & \frac23\\[1ex]\frac23 & -\frac13\\[1ex]0 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}=(-1)\cdot\left(\begin{array}{rr}-\frac13\\[1ex]\frac23\\[1ex]0\end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{rr}\frac23\\[1ex]-\frac13\\[1ex]0\end{array}\right)=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\quad\checkmark$$
Die lineare Abbildung \(F_2\) existiert also und wir haben die Abbidlungsmatrix angegeben.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, weil die \(x_3\)-Koordinate stets \(=0\) ist. Daher kann z.B. der Wert \((0|0|1)\) aus der Zielmenge \(\mathbb R^3\) nicht getroffen werden. Die Abbildung ist jedoch injektiv, weil die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix linear unabhängig sind.
