Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Zum Lösen musst du elementare Gauß-Umformungen anwenden. Ziel dabei ist es, in jeder Spalte lauter Nullen und nur eine Eins stehen zu haben, zumindest so weit dies möglich ist.
$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = &\text{Aktion}\\\hline2 & -1 & 1 & -1 & 3 & -2Z_2\\1 & 1 & 1 & 6 & 4 & \\1 & -3 & 2 & -2 & 2 &-Z_2\\\hline0 & -3 & -1 & -13 & -5 &+Z_3\\1 & 1 & 1 & 6 & 4 & -Z_3\\0 & -4 & 1 & -8 & -2 &\\\hline0 & -7 & 0 & -21 & -7 &\colon(-7)\\1 & 5 & 0 & 14 & 6 & \\0 & -4 & 1 & -8 & -2 &\\\hline0 & 1 & 0 & 3 & 1 &\\1 & 5 & 0 & 14 & 6 & -5Z_1\\0 & -4 & 1 & -8 & -2 & +4Z_1\\\hline0 & 1 & 0 & 3 & 1 &\\1 & 0 & 0 & -1 & 1 &\\0 & 0 & 1 & 4 & 2 &\\\hline\hline\end{array}$$Mehr von den gewünschten Spalten kriegen wir nicht hin. Jede Zeile steht nun für eine Bedingung, die die Variablen \(x_i\) erfüllen müssen:$$x_2+3x_4=1\quad;\quad x_1-x_4=1\quad;\quad x_3+4x_4=2$$Die \(x_4\)-Spalte konnten wir ja nicht auf die gewünschte Form bringen, aber wir können nun in den 3 Gleichungen die \(x_4\) alle auf die andere Seite bringen:$$x_2=1-3x_4\quad;\quad x_1=1+x_4\quad;\quad x_3=2-4x_4$$Damit können wir nun alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+x_4\\1-3x_4\\2-4x_4\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\\1\end{pmatrix}$$
