Bestimmen Sie zu den ℝ -linearen Abbildungen jeweils die Dimension des Kerns und des Bildes, indem Sie eine …

Question

Aufgabe:

1 | Suchbild (10 Punkte)
Welche der folgenden Abbildungen sind \( \mathbb{R} \)-linear?
\( \begin{aligned} f: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) & \mapsto\left(\begin{array}{l} 0 \\ y \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned} \)
\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
\( \begin{array}{lr} : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} & h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} x+y \\ x+y \\ x+y \end{array}\right) & \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x+2 \\ 0 \\ y-2 \end{array}\right) \end{array} \)
\( \begin{array}{ll} : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} & j: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) & \mapsto\left(\begin{array}{c} x+2 \\ 0 \\ y-2 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x-y \\ 3 y \\ x+2 y \end{array}\right) \end{array} \)
Bestimmen Sie zu den \( \mathbb{R} \)-linearen Abbildungen jeweils die Dimension des Kerns und des Bildes, indem Sie eine explizite Basis von Kern und Bild angeben. (Sie dass die von Ihnen angegebenen Tupel tatsächlich Basen sind.)

Answer 1

Aloha :)

Für jede lineare Abbildung gilt:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\implies f(0)=0$$Das heißt, jede lineare Abbildung muss die Null auf die Null abbilden. Das sollte immer der erste Test sein, noch bevor du irgendwas anderes prüfst.

Wenn der "Nulltest" erfolgreich war, hast du zwei Möglichkeiten. (1) Du findest eine Abbidlungsmatrix oder (2) Du prüfst die Linearität und Homogenität manuell ab:$$f(\vec v+\vec w)=f(\vec v)+f(\vec w)\quad;\quad f(a\cdot\vec v)=a\cdot f(\vec v)$$Ich nutze gerne Möglichkeit (1), weil es oft schneller geht.

1) \(f\) erfüllt den Nulltest und eine Abbildungsmatrix ist offensichtlich:$$\binom{x}{y}\mapsto\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\cdot x+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot y=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$

2) \(g\) erfüllt den Nulltest und auch hier ist eine Abbildungsmatrix offensichtlich:$$\binom{x}{y}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\x+y\\x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot x+\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot y=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$

3) \(h\) fällt durch den Nulltest, denn \(h(\vec 0)=(2;0;-2)^T\)

4) \(j\) erfüllt den Nulltest und auch hier ist eine Abbildungsmatrix schnell gefunden:$$\binom{x}{y}\mapsto\begin{pmatrix}2x-y\\3y\\x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\cdot x+\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\cdot y=\begin{pmatrix}2 & -1\\0 & 3\\1 & 2\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$

Also sind \(f\), \(g\) und \(j\) linear, \(h\) ist nicht linear.