Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die (2,2)-Matrix mit

\( A=\left(\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 12 & 4\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von

Dim(Kern()) =

Dim(Bild())  =

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte die Lösung und gerne auch mit erklärung da ich es verstehen möchte

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Comments

Dimension des Kerns und des Bildes von

Ja von was?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(\binom{x}{y}\) multiplizerst$$A\cdot\vec x=\begin{pmatrix}-3 & -1\\12 & 4\end{pmatrix}\binom{x}{y}=x\binom{-3}{12}+y\binom{-1}{4}=3x\binom{-1}{4}+y\binom{-1}{4}=(3x+y)\binom{-1}{4}$$erhältst du immer ein Ergebnis, das parallel oder antiparallel zum Vektor \(\binom{-1}{4}\) ist.

Für \((y=-3x)\) ist \(\binom{x}{y}=\binom{x}{-3x}=x\binom{1}{-3}\) und wir erhalten aus der vorigen Rechnung immer den Nullvektor. Daher lautet der Kern der Abbildung \(A\):$$\text{Kern}(A)=\binom{1}{-3}$$Die Bild der Abbildung \(A\) lesen wir direkt ab:$$\text{Bild}(A)=\binom{-1}{4}$$