Aufgabe:
Gegeben ist die (2,2)-Matrix mit
\( A=\left(\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 12 & 4\end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von
Dim(Kern()) =
Dim(Bild()) = Problem/Ansatz:
Ich bräuchte die Lösung und gerne auch mit erklärung da ich es verstehen möchte
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Dimension des Kerns und des Bildes von
Ja von was?
Aloha :)
Wenn du die Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(\binom{x}{y}\) multiplizerst$$A\cdot\vec x=\begin{pmatrix}-3 & -1\\12 & 4\end{pmatrix}\binom{x}{y}=x\binom{-3}{12}+y\binom{-1}{4}=3x\binom{-1}{4}+y\binom{-1}{4}=(3x+y)\binom{-1}{4}$$erhältst du immer ein Ergebnis, das parallel oder antiparallel zum Vektor \(\binom{-1}{4}\) ist.
Für \((y=-3x)\) ist \(\binom{x}{y}=\binom{x}{-3x}=x\binom{1}{-3}\) und wir erhalten aus der vorigen Rechnung immer den Nullvektor. Daher lautet der Kern der Abbildung \(A\):$$\text{Kern}(A)=\binom{1}{-3}$$Die Bild der Abbildung \(A\) lesen wir direkt ab:$$\text{Bild}(A)=\binom{-1}{4}$$
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