Berechnen Sie die Schnittgerade von zwei Ebenen.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die beiden Ebenen
\( E_{1}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)=0 \).
\( E_{2}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)=0 . \)
Berechnen Sie die Schnittgerade.
\( g: \vec{x}= \)

Problem/Ansatz:

Hola,

Ich habe nur folgendes gewusst wie man diese Aufgabe rechnet

E1: x+2y-z= -2

ich komme nicht weiter :(

Das wäre nett wenn jemand mit Rechnungsweg mir es erklären kann

Danke im Voraus :-)

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Skalarprodukte ausrechnest, lauten die Ebenengleichungen in Koordinatenform:$$E_1\colon x+2y-z+2=0\quad;\quad E_2\colon-2x-y-z+5=0$$Wir substrahieren die Gleichung für \(E_2\) von der für \(E_1\):$$(x+2y-z+2)-(-2x-y-z+5)=0\implies3x+3y-3=0\implies\underline{x+y=1}$$Das setzen wir in die Geradengleichung für \(E_1\) ein:$$0=(x+\,\underbrace{y)+y}_{=2y}\,-z+2=1+y-z+2=y-z+3\implies\underline{z=y+3}$$Stellen wir die erste gefundene Gleichung noch nach \(x\) um, haben wir gefunden:$$x=1-y\quad;\quad z=3+y$$Damit lautet eine Darstellung der Schnittgerade:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-y\\y\\3+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Die Schnittgerade ist z.B.

g: X = [2, - 1, 2] + r·[1, - 1, - 1]