Aloha :)
$$h(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2-x}{x^2-5x+4} &\text{für } x\in\mathbb R\setminus\mathbb N\\[1ex]\frac{3x-10}{x+2}&\text{für } x\in\mathbb N\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-4)} &\text{für } x\in\mathbb R\setminus\mathbb N\\[1ex]\frac{3x-10}{x+2}&\text{für } x\in\mathbb N\end{array}\right\}$$Für \(x<1\) findet nur der obere Funktionsterm Anwendung. Dieser ist über \(\mathbb R^{<1}\) stetig, weil Polynome stetig sind und der Quotient stetiger Funktionen auch stetig ist, sofern nicht durch \(0\) dividiert wird.
Für \(x\ge1\) und \(x\in\mathbb N\) müssen wir zuerst prüfen, ob der obere und der untere Funktionsterm dasselbe Erebnis liefern. Dabei ist zunächst unerheblich, dass der obere Funktionsterm für \(x=1\) und \(x=4\) nicht definiert ist, weil in diesen Fällen \(x\in\mathbb N\) ist, sodass der untere Funktionsterm greift. Das könnte erst später relevant werden. Wir setzen die beiden Funktionsterme gleich, um die möglichen \(x\in\mathbb N\) zu finden, für die Gleichheit herrscht:
$$\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-4)}=\frac{3x-10}{x+2}\implies\frac{x}{x-4}=\frac{3x-10}{x+2}\implies$$$$x(x+2)=(3x-10)(x-4)\implies x^2+2x=3x^2-22x+40\implies$$$$2x^2-24x+40=0\implies 2(x-2)(x-10)=0$$Damit scheiden alle \(x\in\mathbb N\) als Stetigkeitsstellen aus, außer \(x=2\) und \(x=10\).
Für \(x=2\) und \(x=10\) sind der links- und der rechtsseige Grenzwert des oberen Terms gleich (keine Division des oberen Terms durch \(0\)), und zwar gleich dem jeweiligen Funktionswert des unteren Terms \(f(2)=-1\) und \(f(10)=\frac53\)
Damit ist die Funktion stetig in \(\mathbb R\setminus\mathbb N\cup\{2;10\}\)
~plot~ (x^2-x)/(x^2-5x+4) ; (3x-10)/(x+2) ; {2|-1} ; {10|5/3} ; [[-4|15|-4|8]] ~plot~
