Bestimmen des Normalvektors und Schnittwinkel

Question

Ich hab gegeben die Ebenen
\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 2\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)
\( E_{2}:-2 x+2 y+4 z-1=0 . \)
Dazu soll ich denn den Normalenvektor der Ebene \( E_{1} \) geben:

Bestimmen Sie den Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen den Ebenen.
Geben Sie das Ergebnis im Gradmaß, gerundet auf ganzzahlige Winkel an.
\( \alpha= \)

Kann mir hierzu wer ein Lösungsweg zeigen? (mit erklärung wenn möglich)

Answer 1

Aloha :)

Da die Normalenvektoren senkrecht auf den Ebenen stehen, ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren gleich dem Winkel zwischen den beiden Ebenen.

Der Normaenvektor von Ebene \(E_1\) ist:$$\vec n_1=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-1\\0-(-3)\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}$$Den Normalenvektor von Ebene \(E_2\) können wir ablesen:$$\vec n_2=\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}$$Der gesuchte Winkel ist nun:$$\alpha=\arccos\left(\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{\left\|\vec n_1\right\|\cdot\left\|\vec n_2\right\|}\right)=\arccos\left(\frac{4+6+12}{\sqrt{4+9+9}\cdot\sqrt{4+4+16}}\right)=16,78^\circ$$

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort an diesem späten abend!