Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei oberen Dreiecksmatrizen wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.

Question

Aufgabe:

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine n × n Matrix A, s.d. Aij = 0 für i > j.

Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei oberen Dreiecksmatrizen wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.

Answer 1

Seien \( \mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n, n} \) obere Dreicksmatrizen. Dann ist

\(\begin{aligned}   (\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})_{i, j}   = \sum_{k=1}^{n} a_{i, k}\cdot b_{k, j}   &= \sum_{k=1}^{n} [i\le k]\cdot a_{i, k} \cdot [k\le j]\cdot b_{k, j}   \\   &= \sum_{k=1}^{n} [i \le k \text{ und } k \le j]\cdot a_{i, k} \cdot b_{k, j}   = \begin{cases}       \sum_{k=i}^{j} a_{i, k}\cdot b_{k, j}, \ i \le j\\     0, \ \text{sonst}   \end{cases} \end{aligned}\)

\( [ \) Bedingung \( B]=\left\{\begin{array}{l}0, \text { wenn } B \text { nicht erfüllt ist } \\ 1, \text { sonst }\end{array}\right. \)

Comments

Warum denn \(\color{blue}0,\ i<j\)  und \(\color{blue}a_{i,k}\cdot b_{k,j},\text { sonst}\)  ?

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Wie könnte man es als Matrixform zeigen?

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ah ja, da hatte ich mich vertippt.

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@miriam20 ich weiss nicht genau was du meinst, oben habe ich einfach ein allgemeines Element des Produkts der zwei Matrizen beschrieben.

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\(\color{blue}a_{i,k}\cdot b_{k,j},\ i\le j\)  Fehlt hier eine Summe? Vielleicht \(\displaystyle\sum_{k=i}^j\) ?