Zeigen Sie die folgende Aussage zu Nullfolgen

Question

Aufgabe:

Seien \( a=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( b=\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(iii) Ist \( a \) eine beschränkte Folge und \( b \) eine Folge mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) (eine sogenannte Nullfolge), so ist auch \( \left(a_{n} \cdot b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

da \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \) beschränkt ist, ex. \( M > 0 \), sodass \( |b_n| \leq M \,\, \forall n \in \mathbb{N} \). Zu \( \varepsilon > 0 \) gibt es wegen \( a_n \to 0 \, (n \to \infty) \) ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( |a_n| \leq \frac{\varepsilon}{M} \,\, \forall n \geq N \). \( \Rightarrow |a_nb_n| = |a_n| |b_n| \leq \varepsilon \,\, \forall n \geq N\), also \( a_nb_n \to 0  \, (n \to \infty) \)