Aloha :)
Wenn du eine Funktion \(f(x)\) an zwei Stellen, etwa an der Stelle \(x\) und an der Stelle \(x_0\) betrachtest, kannst du durch die beiden Punkte \((x|f(x))\) und \((x_0|f(x_0))\) des Graphen eine Linie ziehen. Das ergibt eine Gerade mit der Steigung$$m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Das ist der Differenzenquotient. Im Zähler stehen die Differenzen der \(y\)-Werte und im Nenner die Differenzen der \(x\)-Werte.
Nun lassen wir die Stelle \(x\) auf die Stelle \(x_0\) zulaufen. Währenddessen schneidet die Verbindungsgerade den Graphen in diesen beiden Punkten. Wenn nun \(x\) und \(x_0\) gleich sind, kann man nicht mehr von einer Verbindungsgeraden sprechen, weil die Gerade den Graphen nur noch im Punkt \(x_0\) berührt. Die Steigung dieser Berührgeraden (die auch "Tangente" genannt wird) heißt "erste Ableitung" der Funktion an der Stelle \(x_0\):$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Die zweite Ableitung gibt tatsächlich nicht die Krümmung der Funktion an. Das denken zwar viele, ist aber trotzdem falsch. Mit der ersten Ableitung einer Funktion an der Stelle \(x_0\) legst du dort eine Berührgerade an die Funktion. Der nächste Näherungsschritt wäre, an diese Stelle \(x_0\) einen Kreis mit Radius \(r\) zu legen, der die Funktion in einem kleinen Bereich um die Stelle \(x_0\) herum annähert. Die Krümmung \(\kappa\) der Funktion ist dann der Kehrwert von dem Radius \(r\) dieses Kreises. Die Herleitung dafür ist etwas fummelig und vermutlich mit dem, was du bisher gelernt hast, noch nicht zu verstehen. Daher hier nur die Formel für die Krümmung:$$\kappa=\frac{f''(x_0)}{\sqrt{\left(1+\left[f''(x_0)\right]^2\right)^3}}$$Wie du siehst, ist der Nenner immer \(\ge1\). Im Zähler steht jedoch die zweite Ableitung \(f''(x_0)\) der Funktion an der Stelle \(x_0\). Ihr Vorzeichen allein bestimmt daher das Vorzeichen der Krümmung \(\kappa\).
Das heißt, am Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''(x_0)\) kannst du erkennen, ob die Funktion links- oder rechtsgekrümmt ist. Für \(f''(x_0)>0\) ist \(\kappa>0\) und die Funktion ist linksgekrümmt oder "konvex". Für \(f''(x_0)<0\) ist \(\kappa<0\) und die Funktion ist rechtsgekrümmt oder "konkav".
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt also Auskunft über das Krümmungsverhalten, nicht über die Krümmung an sich. Die Krümmung kann man mit der angegebenen Formel aus der zweiten Ableitung berechnen.
