Matrizen - Lineares Gleichungssystem

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einem Beispiel bzgl. Matrizen.

Für welche Werte \( \lambda \in \mathbb{R} \) hat das Gleichungssystem$$\begin{pmatrix} 1& 0& -3 \\ 2& \lambda& -1 \\ 1& 2& \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}$$[(1, 0, -3) \\ (2, \lambda\, -1) \\ (1,2,\lambda\)]*[(x),(y),(z)]= [(-3),(-2),(1)]

keine Lösung?


Danke im Vorhinein für die Hilfe!

Answer 1

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist λ^2 +3λ-10.

Die ist nur 0 für λ=-5 oder λ=2.

In allen anderen Fällen gibt es genau eine Lösung.

Für λ=-5 gibt der Gauss-Alg. in der letzten Zeile

0   0   0    1   also gibt es dann keine Lösung.

Für λ=2 ebenso.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die Matrix genau dann invertieren, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist. Daher gibt es hier für diejenigen \(\lambda\) keine Lösung, die die Determinante \(=0\) werden lassen. Diese \(\lambda\) suchen wir nun:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & -3\\2 & \lambda & -1\\1 & 2 & \lambda\end{array}\right|=\lambda^2+2-3(4-\lambda)=\lambda^2+3\lambda-10=(\lambda+5)(\lambda-2)$$Für \(\lambda=-5\) und \(\lambda=2\) gibt es keine Lösungen.

Comments

Und wie wäre es wenn es genau eine oder unendliche viele Lösungen gäbe?

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Genau eine Lösung gibt es, wenn die Determinante \(\ne0\) ist, also für alle \(\lambda\) außer \((-5)\) und \(2\).

In den Fällen \(\lambda=2\) oder \(\lambda=-5\) gibt es entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Bei unendlich vielen Lösungen fällt mindestens eine Gleichung weg, weil sie mit den anderen äquivalent ist. Bei keiner Lösung erhältst du eine Gleichung, die immer falsch ist, z.B. \(0x+0y+0z=1\). Letzteres ist in dieser Aufgabe der Fall.

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Der Exponent 3 ist etwas zu üppig.

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Danke mathef... Da waren meine Finger wohl zu dick ;)

Ist korrigiert.