Berechnen Sie die Dichten der Randverteilungen X und Y，sind X und Y unabhängig

Question

b) Sei \( (X, Y) \) ein stetiger Zufallsvektor mit Dichte

\( f_{(X, Y)}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 4 x \cdot(1-y), & \text { für } 0<x<1,0<y<1 \\ 0, & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

Berechnen Sie die Dichten der Randverteilungen \( X \) und \( Y \).

c) Sind \( X \) und \( Y \) aus Teil b) unabhängig?

Comments

Für c) kannst du dir Folgendes überlegen:

Wenn gilt:     f_(x,y)(x,y) = f_x(x) * f_y(y)

so sind x und y unabhängig.

Tipp: Du musst 4 Fälle unterscheiden.

Answer 1

Zu b)

für 0<x<1 gilt f_x(x) = \( \int\limits_{0}^{1} \) 4x-4xy dy

= [4xy-2xy²]₀¹ = 4x-2x - 0 = 2x

sonst f_x(x)=0

für f_y(y) analog